Страница 138 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

190. Упростите выражение:

1) $\sin \varphi \cos 3\varphi + \cos \varphi \sin 3\varphi;$

2) $\cos 64^\circ \cos 34^\circ + \sin 64^\circ \sin 34^\circ;$

3) $\sin(84^\circ - \alpha) \cos(\alpha + 24^\circ) - \cos(84^\circ - \alpha) \sin(\alpha + 24^\circ);$

4) $\frac{\cos 14^\circ \cos 23^\circ - \sin 14^\circ \sin 23^\circ}{\sin 56^\circ \cos 19^\circ - \cos 56^\circ \sin 19^\circ};$

5) $\frac{tg 14^\circ + tg 46^\circ}{1 - tg 14^\circ tg 46^\circ};$

6) $\frac{tg \left(\frac{\pi}{12} + \alpha\right) + tg \left(\frac{\pi}{12} - \alpha\right)}{1 - tg \left(\frac{\pi}{12} + \alpha\right) tg \left(\frac{\pi}{12} - \alpha\right)}.$

1) Данное выражение, $\sin \varphi \cos 3\varphi + \cos \varphi \sin 3\varphi$, соответствует формуле синуса суммы двух углов: $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$.
В нашем случае, $A = \varphi$ и $B = 3\varphi$.
Применяя формулу, получаем: $\sin(\varphi + 3\varphi) = \sin(4\varphi)$.
Ответ: $\sin(4\varphi)$.

2) Данное выражение, $\cos 64^\circ \cos 34^\circ + \sin 64^\circ \sin 34^\circ$, соответствует формуле косинуса разности двух углов: $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$.
В нашем случае, $A = 64^\circ$ и $B = 34^\circ$.
Применяя формулу, получаем: $\cos(64^\circ - 34^\circ) = \cos(30^\circ)$.
Значение $\cos(30^\circ)$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Данное выражение, $\sin(84^\circ - \alpha)\cos(\alpha + 24^\circ) - \cos(84^\circ - \alpha)\sin(\alpha + 24^\circ)$, соответствует формуле синуса разности двух углов: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
В нашем случае, $A = 84^\circ - \alpha$ и $B = \alpha + 24^\circ$.
Применяя формулу, получаем: $\sin((84^\circ - \alpha) - (\alpha + 24^\circ))$.
Упростим выражение в скобках: $84^\circ - \alpha - \alpha - 24^\circ = 60^\circ - 2\alpha$.
Таким образом, исходное выражение равно $\sin(60^\circ - 2\alpha)$.
Ответ: $\sin(60^\circ - 2\alpha)$.

4) Упростим числитель и знаменатель дроби по отдельности.
Числитель: $\cos 14^\circ \cos 23^\circ - \sin 14^\circ \sin 23^\circ$. Это формула косинуса суммы: $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.
При $A = 14^\circ$ и $B = 23^\circ$, числитель равен $\cos(14^\circ + 23^\circ) = \cos(37^\circ)$.
Знаменатель: $\sin 56^\circ \cos 19^\circ - \cos 56^\circ \sin 19^\circ$. Это формула синуса разности: $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
При $A = 56^\circ$ и $B = 19^\circ$, знаменатель равен $\sin(56^\circ - 19^\circ) = \sin(37^\circ)$.
Вся дробь равна $\frac{\cos(37^\circ)}{\sin(37^\circ)}$, что по определению является котангенсом.
Следовательно, выражение равно $\cot(37^\circ)$.
Ответ: $\cot(37^\circ)$.

5) Данное выражение, $\frac{\tan 14^\circ + \tan 46^\circ}{1 - \tan 14^\circ \tan 46^\circ}$, соответствует формуле тангенса суммы двух углов: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
В нашем случае, $A = 14^\circ$ и $B = 46^\circ$.
Применяя формулу, получаем: $\tan(14^\circ + 46^\circ) = \tan(60^\circ)$.
Значение $\tan(60^\circ)$ является табличным и равно $\sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

6) Данное выражение, $\frac{\tan(\frac{\pi}{12} + \alpha) + \tan(\frac{\pi}{12} - \alpha)}{1 - \tan(\frac{\pi}{12} + \alpha) \tan(\frac{\pi}{12} - \alpha)}$, также соответствует формуле тангенса суммы двух углов: $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$.
В нашем случае, $A = \frac{\pi}{12} + \alpha$ и $B = \frac{\pi}{12} - \alpha$.
Применяя формулу, получаем: $\tan\left(\left(\frac{\pi}{12} + \alpha\right) + \left(\frac{\pi}{12} - \alpha\right)\right)$.
Упростим аргумент тангенса: $\frac{\pi}{12} + \alpha + \frac{\pi}{12} - \alpha = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}$.
Таким образом, выражение равно $\tan(\frac{\pi}{6})$.
Значение $\tan(\frac{\pi}{6})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

191. Докажите тождество:

1) $ \text{ctg} \alpha - \text{ctg} \beta = \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta} $

2) $ \frac{\sin(\alpha - \beta) + 2 \cos \alpha \sin \beta}{2 \cos \alpha \cos \beta - \cos(\alpha - \beta)} = \text{tg}(\alpha + \beta) $

3) $ \sin 2\alpha - \cos 2\alpha \text{tg} \alpha = \text{tg} \alpha $

1) Докажем тождество $ctg \alpha - ctg \beta = \frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}$.

Преобразуем левую часть тождества. По определению, котангенс угла — это отношение косинуса этого угла к его синусу, то есть $ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$.

$ctg \alpha - ctg \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos \beta}{\sin \beta}$

Приведем дроби к общему знаменателю $\sin \alpha \sin \beta$:

$\frac{\cos \alpha \sin \beta - \cos \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \sin \beta}$

Выражение в числителе является формулой синуса разности двух углов: $\sin(\beta - \alpha) = \sin \beta \cos \alpha - \cos \beta \sin \alpha$.

Таким образом, левая часть тождества преобразуется к виду:

$\frac{\sin(\beta - \alpha)}{\sin \alpha \sin \beta}$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходного тождества. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\frac{\sin(\alpha - \beta) + 2\cos \alpha \sin \beta}{2\cos \alpha \cos \beta - \cos(\alpha - \beta)} = tg(\alpha + \beta)$.

Преобразуем отдельно числитель и знаменатель дроби в левой части, используя формулы синуса и косинуса разности углов:

$\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

$\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Преобразуем числитель дроби:

$\sin(\alpha - \beta) + 2\cos \alpha \sin \beta = (\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta) + 2\cos \alpha \sin \beta = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

Полученное выражение является формулой синуса суммы углов: $\sin(\alpha + \beta)$.

Преобразуем знаменатель дроби:

$2\cos \alpha \cos \beta - \cos(\alpha - \beta) = 2\cos \alpha \cos \beta - (\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) = 2\cos \alpha \cos \beta - \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

Полученное выражение является формулой косинуса суммы углов: $\cos(\alpha + \beta)$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$

По определению, тангенс угла — это отношение синуса к косинусу, поэтому $\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)} = tg(\alpha + \beta)$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\sin 2\alpha - \cos 2\alpha \ tg \alpha = tg \alpha$.

Преобразуем левую часть тождества. Используем формулы двойного угла и определение тангенса:

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$

$\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha$

$tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Подставим эти выражения в левую часть тождества:

$\sin 2\alpha - \cos 2\alpha \ tg \alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) \cdot \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Приведем выражение к общему знаменателю $\cos \alpha$:

$\frac{2\sin \alpha \cos \alpha \cdot \cos \alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2\sin \alpha \cos^2 \alpha - (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)\sin \alpha}{\cos \alpha}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{2\sin \alpha \cos^2 \alpha - \sin \alpha \cos^2 \alpha + \sin^3 \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha \cos^2 \alpha + \sin^3 \alpha}{\cos \alpha}$

Вынесем $\sin \alpha$ за скобки в числителе:

$\frac{\sin \alpha (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)}{\cos \alpha}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, упростим числитель:

$\frac{\sin \alpha \cdot 1}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$

По определению, $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = tg \alpha$.

Левая часть тождества равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

192. Преобразуйте в произведение:

1) $tg 34^\circ + tg 26^\circ$

2) $ctg 3\beta - ctg 10\beta$

3) $tg \left(\alpha + \frac{\pi}{3}\right) - tg \left(\alpha - \frac{\pi}{6}\right)$

4) $1 - tg \alpha$

1) Для преобразования суммы тангенсов в произведение воспользуемся формулой $tg \: x + tg \: y = \frac{\sin(x+y)}{\cos x \cos y}$.

В нашем случае $x=34^\circ$ и $y=26^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$tg \: 34^\circ + tg \: 26^\circ = \frac{\sin(34^\circ+26^\circ)}{\cos 34^\circ \cos 26^\circ} = \frac{\sin 60^\circ}{\cos 34^\circ \cos 26^\circ}$.

Мы знаем, что значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим его в выражение:

$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\cos 34^\circ \cos 26^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2 \cos 34^\circ \cos 26^\circ}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2 \cos 34^\circ \cos 26^\circ}$.

2) Для преобразования разности котангенсов в произведение воспользуемся формулой $ctg \: x - ctg \: y = \frac{\sin(y-x)}{\sin x \sin y}$.

В данном случае $x=3\beta$ и $y=10\beta$. Подставим эти значения в формулу:

$ctg \: 3\beta - ctg \: 10\beta = \frac{\sin(10\beta-3\beta)}{\sin 3\beta \sin 10\beta} = \frac{\sin 7\beta}{\sin 3\beta \sin 10\beta}$.

Ответ: $\frac{\sin 7\beta}{\sin 3\beta \sin 10\beta}$.

3) Для преобразования разности тангенсов в произведение воспользуемся формулой $tg \: x - tg \: y = \frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}$.

Здесь $x = \alpha + \frac{\pi}{3}$ и $y = \alpha - \frac{\pi}{6}$. Подставим в формулу:

$tg(\alpha + \frac{\pi}{3}) - tg(\alpha - \frac{\pi}{6}) = \frac{\sin((\alpha + \frac{\pi}{3}) - (\alpha - \frac{\pi}{6}))}{\cos(\alpha + \frac{\pi}{3})\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})}$.

Упростим аргумент синуса в числителе:

$(\alpha + \frac{\pi}{3}) - (\alpha - \frac{\pi}{6}) = \alpha + \frac{\pi}{3} - \alpha + \frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

Выражение принимает вид:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{\cos(\alpha + \frac{\pi}{3})\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})}$.

Поскольку $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем окончательный результат:

$\frac{1}{\cos(\alpha + \frac{\pi}{3})\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})}$.

Ответ: $\frac{1}{\cos(\alpha + \frac{\pi}{3})\cos(\alpha - \frac{\pi}{6})}$.

4) Чтобы преобразовать данное выражение, представим число 1 как тангенс угла $\frac{\pi}{4}$, то есть $1 = tg \frac{\pi}{4}$.

Теперь выражение имеет вид $tg \frac{\pi}{4} - tg \: \alpha$. Воспользуемся формулой разности тангенсов $tg \: x - tg \: y = \frac{\sin(x-y)}{\cos x \cos y}$.

Подставим $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = \alpha$:

$tg \frac{\pi}{4} - tg \: \alpha = \frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha}$.

Мы знаем, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Подставим это значение в знаменатель:

$\frac{\sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha} = \frac{2 \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\sqrt{2} \cos \alpha}$.

Упростим дробь, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\frac{2\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{2 \cos \alpha} = \frac{\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\cos \alpha}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{4} - \alpha)}{\cos \alpha}$.

193. Найдите $\tan 15^\circ$.

Для того чтобы найти значение $\tg 15^\circ$, представим $15^\circ$ как разность двух углов, тангенсы которых являются табличными значениями. Наиболее удобным вариантом является $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.

Воспользуемся формулой тангенса разности двух углов:

$\tg(\alpha - \beta) = \frac{\tg\alpha - \tg\beta}{1 + \tg\alpha \cdot \tg\beta}$

Подставим в эту формулу $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$:

$\tg 15^\circ = \tg(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tg 45^\circ - \tg 30^\circ}{1 + \tg 45^\circ \cdot \tg 30^\circ}$

Нам известны значения тангенсов для углов $45^\circ$ и $30^\circ$:

$\tg 45^\circ = 1$

$\tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ (или $\frac{1}{\sqrt{3}}$)

Теперь подставим эти числовые значения в выражение для $\tg 15^\circ$:

$\tg 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}$

Сократим общий знаменатель 3 в числителе и знаменателе полученной дроби:

$\tg 15^\circ = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на $(3 - \sqrt{3})$:

$\tg 15^\circ = \frac{(3 - \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3})(3 - \sqrt{3})} = \frac{(3 - \sqrt{3})^2}{3^2 - (\sqrt{3})^2}$

В числителе применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а в знаменателе — формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$\tg 15^\circ = \frac{3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2}{9 - 3} = \frac{9 - 6\sqrt{3} + 3}{6} = \frac{12 - 6\sqrt{3}}{6}$

Вынесем общий множитель 6 в числителе и сократим дробь:

$\tg 15^\circ = \frac{6(2 - \sqrt{3})}{6} = 2 - \sqrt{3}$

Ответ: $2 - \sqrt{3}$

194. Дано: $\cos \alpha = -0,6$, $180^{\circ} < \alpha < 270^{\circ}$. Найдите $\sin (60^{\circ} - \alpha)$.

Для нахождения значения выражения $ \sin(60^\circ - \alpha) $ воспользуемся формулой синуса разности двух углов:

$ \sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y $

Применяя эту формулу, получаем:

$ \sin(60^\circ - \alpha) = \sin 60^\circ \cos \alpha - \cos 60^\circ \sin \alpha $

Нам известны следующие значения:

• $ \cos \alpha = -0.6 $ (из условия)
• $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $
• $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $

Чтобы найти $ \sin(60^\circ - \alpha) $, нам необходимо сначала вычислить $ \sin \alpha $. Для этого используем основное тригонометрическое тождество:

$ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $

Выразим из него $ \sin \alpha $:

$ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $

Подставим известное значение $ \cos \alpha = -0.6 $:

$ \sin^2 \alpha = 1 - (-0.6)^2 = 1 - 0.36 = 0.64 $

Отсюда $ \sin \alpha = \pm \sqrt{0.64} = \pm 0.8 $.

Согласно условию, угол $ \alpha $ находится в интервале $ 180^\circ < \alpha < 270^\circ $, что соответствует третьей координатной четверти. В этой четверти значения синуса отрицательны. Следовательно, мы выбираем знак "минус":

$ \sin \alpha = -0.8 $

Теперь у нас есть все необходимые значения для подстановки в формулу синуса разности:

$ \sin(60^\circ - \alpha) = \sin 60^\circ \cos \alpha - \cos 60^\circ \sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-0.6) - \frac{1}{2} \cdot (-0.8) $

Выполним вычисления:

$ \sin(60^\circ - \alpha) = -\frac{0.6\sqrt{3}}{2} + \frac{0.8}{2} = -0.3\sqrt{3} + 0.4 $

Для более точного ответа представим десятичные дроби в виде обыкновенных: $ -0.6 = -\frac{3}{5} $ и $ -0.8 = -\frac{4}{5} $.

$ \sin(60^\circ - \alpha) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) - \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{3\sqrt{3}}{10} + \frac{4}{10} = \frac{4 - 3\sqrt{3}}{10} $

Ответ: $ \frac{4 - 3\sqrt{3}}{10} $

195. Дано: $ \sin \alpha = 0,6 $, $ \sin \beta = - \frac{8}{17} $, $ 0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} $, $ 180^{\circ} < \beta < 270^{\circ} $.

Найдите: $ \cos(\alpha - \beta) $.

Для того чтобы найти $ \cos(\alpha - \beta) $, необходимо воспользоваться формулой косинуса разности:

$ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $

В условии даны значения $ \sin\alpha $ и $ \sin\beta $. Чтобы использовать формулу, нам нужно сначала найти значения $ \cos\alpha $ и $ \cos\beta $.

1. Нахождение $ \cos\alpha $

Используем основное тригонометрическое тождество: $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $.

Из этого тождества выразим $ \cos\alpha $: $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $.

Нам дано, что $ \sin\alpha = 0,6 $, что эквивалентно $ \frac{3}{5} $. Подставим это значение в формулу:

$ \cos^2\alpha = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25} $.

Отсюда $ \cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5} $.

По условию задачи, угол $ \alpha $ находится в пределах $ 0^\circ < \alpha < 90^\circ $, что соответствует первой координатной четверти. В первой четверти косинус имеет положительное значение. Следовательно, мы выбираем знак "плюс":

$ \cos\alpha = \frac{4}{5} $.

2. Нахождение $ \cos\beta $

Действуем аналогично, используя тождество $ \sin^2\beta + \cos^2\beta = 1 $.

Выразим $ \cos\beta $: $ \cos^2\beta = 1 - \sin^2\beta $.

Нам дано, что $ \sin\beta = -\frac{8}{17} $. Подставим это значение:

$ \cos^2\beta = 1 - \left(-\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{289-64}{289} = \frac{225}{289} $.

Отсюда $ \cos\beta = \pm\sqrt{\frac{225}{289}} = \pm\frac{15}{17} $.

По условию, угол $ \beta $ находится в пределах $ 180^\circ < \beta < 270^\circ $, что соответствует третьей координатной четверти. В третьей четверти косинус имеет отрицательное значение. Следовательно, мы выбираем знак "минус":

$ \cos\beta = -\frac{15}{17} $.

3. Вычисление $ \cos(\alpha - \beta) $

Теперь у нас есть все необходимые значения для подстановки в исходную формулу:

• $ \sin\alpha = \frac{3}{5} $
• $ \cos\alpha = \frac{4}{5} $
• $ \sin\beta = -\frac{8}{17} $
• $ \cos\beta = -\frac{15}{17} $

Подставляем их в формулу $ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta $:

$ \cos(\alpha - \beta) = \left(\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{15}{17}\right) + \left(\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{8}{17}\right) $

Выполняем умножение дробей:

$ \cos(\alpha - \beta) = -\frac{4 \cdot 15}{5 \cdot 17} - \frac{3 \cdot 8}{5 \cdot 17} = -\frac{60}{85} - \frac{24}{85} $

Складываем дроби с одинаковым знаменателем:

$ \cos(\alpha - \beta) = \frac{-60 - 24}{85} = -\frac{84}{85} $.

Ответ: $ -\frac{84}{85} $

196. Найдите наибольшее значение выражения:

1) $\cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha$;

2) $3 \sin \alpha + 4 \cos \alpha$.

Для нахождения наибольшего значения выражений вида $a \sin \alpha + b \cos \alpha$ используется метод введения вспомогательного угла. Суть метода заключается в преобразовании выражения к виду $R \sin(\alpha + \varphi)$ или $R \cos(\alpha - \varphi)$. Наибольшее значение такого выражения всегда равно $R = \sqrt{a^2+b^2}$, поскольку наибольшее значение синуса или косинуса равно 1.

1) $\cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha$

Данное выражение можно представить в виде $a \cos \alpha + b \sin \alpha$, где $a=1$ и $b=-\sqrt{3}$.

Наибольшее значение этого выражения равно $\sqrt{a^2+b^2}$.

Вычислим это значение:

$\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.

Проведем преобразование для наглядности. Вынесем 2 за скобки:

$\cos \alpha - \sqrt{3} \sin \alpha = 2 \left( \frac{1}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha \right)$.

Заметим, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Подставим эти значения в выражение:

$2 \left( \cos(\frac{\pi}{3}) \cos \alpha - \sin(\frac{\pi}{3}) \sin \alpha \right)$.

Используя формулу косинуса суммы $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$, получаем:

$2 \cos(\alpha + \frac{\pi}{3})$.

Максимальное значение функции $\cos(\alpha + \frac{\pi}{3})$ равно 1. Следовательно, наибольшее значение всего выражения составляет $2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2.

2) $3 \sin \alpha + 4 \cos \alpha$

Данное выражение можно представить в виде $a \sin \alpha + b \cos \alpha$, где $a=3$ и $b=4$.

Наибольшее значение этого выражения равно $\sqrt{a^2+b^2}$.

Вычислим это значение:

$\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

Проведем преобразование для наглядности. Вынесем 5 за скобки:

$3 \sin \alpha + 4 \cos \alpha = 5 \left( \frac{3}{5} \sin \alpha + \frac{4}{5} \cos \alpha \right)$.

Введем вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\cos \varphi = \frac{3}{5}$ и $\sin \varphi = \frac{4}{5}$. Такое возможно, поскольку $(\frac{3}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = 1$.

Выражение примет вид:

$5 (\cos \varphi \sin \alpha + \sin \varphi \cos \alpha)$.

Используя формулу синуса суммы $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$, получаем:

$5 \sin(\alpha + \varphi)$.

Максимальное значение функции $\sin(\alpha + \varphi)$ равно 1. Следовательно, наибольшее значение всего выражения составляет $5 \cdot 1 = 5$.

Ответ: 5.

197. Упростите выражение:

1) $\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)$;

2) $\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)$;

3) $\operatorname{tg}(\pi+\alpha)$;

4) $\operatorname{tg}(\alpha-\pi)$;

5) $\cos^2(\pi-\alpha)$;

6) $\operatorname{ctg}^2\left(270^{\circ}+\alpha\right)$.

1) Для упрощения выражения $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $ используются формулы приведения. Правило для их применения состоит из двух шагов:
1. Определение знака. Угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ (при малом положительном $ \alpha $) находится в III координатной четверти. Косинус в этой четверти имеет знак «минус».
2. Определение функции. Поскольку в аргументе присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, тригонометрическая функция меняется на кофункцию, то есть $ \cos $ меняется на $ \sin $.
Совмещая оба правила, получаем: $ \cos(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\sin(\alpha) $.
Ответ: $ -\sin(\alpha) $

2) Для упрощения выражения $ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) $ используются формулы приведения.
1. Определение знака. Угол $ \frac{3\pi}{2} + \alpha $ находится в IV координатной четверти. Синус в этой четверти имеет знак «минус».
2. Определение функции. Поскольку в аргументе присутствует $ \frac{3\pi}{2} $, функция меняется на кофункцию, то есть $ \sin $ меняется на $ \cos $.
Следовательно, $ \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Ответ: $ -\cos(\alpha) $

3) Для упрощения выражения $ \text{tg}(\pi + \alpha) $ можно использовать свойство периодичности тангенса. Период функции $ y = \text{tg}(x) $ равен $ \pi $. Это означает, что $ \text{tg}(x + k\pi) = \text{tg}(x) $ для любого целого $ k $. В данном случае $ k=1 $.
Таким образом, $ \text{tg}(\pi + \alpha) = \text{tg}(\alpha) $.
Также можно применить формулы приведения: угол $ \pi + \alpha $ находится в III четверти, где тангенс положителен, а прибавление $ \pi $ не меняет функцию.
Ответ: $ \text{tg}(\alpha) $

4) Для упрощения выражения $ \text{tg}(\alpha - \pi) $ также используется свойство периодичности тангенса с периодом $ \pi $.
$ \text{tg}(\alpha - \pi) = \text{tg}(\alpha - \pi + \pi) = \text{tg}(\alpha) $.
Другой способ — использовать нечетность тангенса ($ \text{tg}(-x) = -\text{tg}(x) $) и формулы приведения:
$ \text{tg}(\alpha - \pi) = \text{tg}(-(\pi - \alpha)) = -\text{tg}(\pi - \alpha) $.
Поскольку $ \text{tg}(\pi - \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $ (II четверть), то получаем $ -(-\text{tg}(\alpha)) = \text{tg}(\alpha) $.
Ответ: $ \text{tg}(\alpha) $

5) Для упрощения выражения $ \cos^2(\pi - \alpha) $ сначала упростим $ \cos(\pi - \alpha) $ с помощью формул приведения, а затем возведем результат в квадрат.
1. Угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен.
2. Прибавление $ \pi $ не меняет функцию.
Значит, $ \cos(\pi - \alpha) = -\cos(\alpha) $.
Теперь возводим в квадрат: $ \cos^2(\pi - \alpha) = (-\cos(\alpha))^2 = \cos^2(\alpha) $.
Ответ: $ \cos^2(\alpha) $

6) Для упрощения выражения $ \text{ctg}^2(270^\circ + \alpha) $ сначала упростим $ \text{ctg}(270^\circ + \alpha) $, а затем возведем результат в квадрат.
1. Угол $ 270^\circ + \alpha $ находится в IV четверти, где котангенс отрицателен.
2. Поскольку в аргументе присутствует $ 270^\circ $ (аналогично $ \frac{3\pi}{2} $), функция меняется на кофункцию, то есть $ \text{ctg} $ меняется на $ \text{tg} $.
Значит, $ \text{ctg}(270^\circ + \alpha) = -\text{tg}(\alpha) $.
Теперь возводим в квадрат: $ \text{ctg}^2(270^\circ + \alpha) = (-\text{tg}(\alpha))^2 = \text{tg}^2(\alpha) $.
Ответ: $ \text{tg}^2(\alpha) $