Страница 145 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Найдите наименьший положительный корень уравнения $\text{tg}\left(6x + \frac{\pi}{3}\right) = -1$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$$ \tg\left(6x + \frac{\pi}{3}\right) = -1 $$

Общее решение уравнения вида $\tg(y) = a$ записывается формулой $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $y = 6x + \frac{\pi}{3}$ и $a = -1$.

$$ 6x + \frac{\pi}{3} = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Значение арктангенса от -1 равно $-\frac{\pi}{4}$. Подставим это значение в уравнение:

$$ 6x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + \pi k $$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала выразим $6x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$$ 6x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k $$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 12:

$$ 6x = -\frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + \pi k $$

$$ 6x = -\frac{7\pi}{12} + \pi k $$

Теперь разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $x$:

$$ x = \frac{-\frac{7\pi}{12} + \pi k}{6} $$

$$ x = -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi k}{6} $$

Мы нашли общее решение уравнения. По условию задачи, нам нужно найти наименьший положительный корень. Это означает, что мы должны найти наименьшее целое $k$, при котором $x > 0$.

Составим неравенство:

$$ -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi k}{6} > 0 $$

Перенесем член с минусом в правую часть:

$$ \frac{\pi k}{6} > \frac{7\pi}{72} $$

Разделим обе части на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знак неравенства не меняется):

$$ \frac{k}{6} > \frac{7}{72} $$

Умножим обе части на 6:

$$ k > \frac{7 \cdot 6}{72} $$

$$ k > \frac{42}{72} $$

Сократим дробь в правой части:

$$ k > \frac{7}{12} $$

Так как $k$ — целое число, наименьшее целое $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k = 1$.

Подставим $k = 1$ в формулу для $x$, чтобы найти наименьший положительный корень:

$$ x = -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi \cdot 1}{6} = -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi}{6} $$

Приведем дроби к общему знаменателю 72:

$$ x = -\frac{7\pi}{72} + \frac{12\pi}{72} $$

$$ x = \frac{12\pi - 7\pi}{72} $$

$$ x = \frac{5\pi}{72} $$

Ответ: $\frac{5\pi}{72}$

240. Сколько решений уравнения $ctg 3x = -1$ принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$?

Чтобы найти количество решений уравнения $ \text{ctg}(3x) = -1 $ на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $, сначала найдем общее решение этого уравнения.

Общее решение уравнения $ \text{ctg}(y) = a $ дается формулой $ y = \text{arcctg}(a) + \pi k $, где $ k $ - любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

В нашем случае $ y = 3x $ и $ a = -1 $. Арккотангенс от -1 равен $ \text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4} $.

Подставляя эти значения, получаем:

$ 3x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь выразим $ x $, разделив обе части уравнения на 3:

$ x = \frac{1}{3} \left( \frac{3\pi}{4} + \pi k \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3} $

Это общее решение уравнения. Далее, нам нужно определить, какие из этих решений попадают в заданный промежуток $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $. Для этого решим двойное неравенство:

$ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3} \le \frac{\pi}{2} $

Разделим все части неравенства на $ \pi $ для упрощения:

$ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{4} + \frac{k}{3} \le \frac{1}{2} $

Вычтем $ \frac{1}{4} $ из всех частей неравенства:

$ -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \le \frac{k}{3} \le \frac{1}{2} - \frac{1}{4} $

$ -\frac{2}{4} - \frac{1}{4} \le \frac{k}{3} \le \frac{2}{4} - \frac{1}{4} $

$ -\frac{3}{4} \le \frac{k}{3} \le \frac{1}{4} $

Теперь умножим все части неравенства на 3, чтобы найти диапазон для целых значений $ k $:

$ 3 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \le k \le 3 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) $

$ -\frac{9}{4} \le k \le \frac{3}{4} $

Переведем дроби в десятичный вид для наглядности:

$ -2.25 \le k \le 0.75 $

Поскольку $ k $ - это целое число, то в данный промежуток попадают следующие значения $ k $: -2, -1, 0.

Каждому из этих значений $ k $ соответствует одно решение уравнения на заданном промежутке:

• При $ k = -2 $: $ x = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi - 8\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} $
• При $ k = -1 $: $ x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12} $
• При $ k = 0 $: $ x = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4} $

Мы получили три различных значения $ k $, следовательно, на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $ существует три решения уравнения.

Ответ: 3

241. Найдите:

1) $ \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}; $

2) $ \arccos \frac{1}{2}; $

3) $ \operatorname{arctg} 1; $

4) $ \operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3}; $

5) $ \arcsin \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right); $

6) $ \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right); $

7) $ \operatorname{arctg} (-1); $

8) $ \operatorname{arcctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right). $

1) По определению арксинуса, $ \arcsin(a) $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $, что $ \sin(\alpha) = a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \sin(\alpha) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $. Угол $ \frac{\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $. Следовательно, $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} $.

2) По определению арккосинуса, $ \arccos(a) $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ [0; \pi] $, что $ \cos(\alpha) = a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \cos(\alpha) = \frac{1}{2} $. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $. Угол $ \frac{\pi}{3} $ принадлежит промежутку $ [0; \pi] $. Следовательно, $ \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} $.

3) По определению арктангенса, $ \operatorname{arctg}(a) $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $, что $ \operatorname{tg}(\alpha) = a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \operatorname{tg}(\alpha) = 1 $. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $. Угол $ \frac{\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $. Следовательно, $ \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{4} $.

4) По определению арккотангенса, $ \operatorname{arcctg}(a) $ — это такой угол $ \alpha $ из промежутка $ (0; \pi) $, что $ \operatorname{ctg}(\alpha) = a $. Нам нужно найти угол $ \alpha $, для которого $ \operatorname{ctg}(\alpha) = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} $. Угол $ \frac{\pi}{3} $ принадлежит промежутку $ (0; \pi) $. Следовательно, $ \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{3} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{3} $.

5) Используем свойство нечетности арксинуса: $ \arcsin(-a) = -\arcsin(a) $. $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, значит $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{3} $. Следовательно, $ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $. Угол $ -\frac{\pi}{3} $ принадлежит промежутку $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{3} $.

6) Используем свойство арккосинуса для отрицательного аргумента: $ \arccos(-a) = \pi - \arccos(a) $. $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $ \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} $, значит $ \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} $. Следовательно, $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $. Угол $ \frac{3\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ [0; \pi] $.
Ответ: $ \frac{3\pi}{4} $.

7) Используем свойство нечетности арктангенса: $ \operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a) $. $ \operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1) $. Из пункта 3 мы знаем, что $ \operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4} $. Следовательно, $ \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} $. Угол $ -\frac{\pi}{4} $ принадлежит промежутку $ \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $.
Ответ: $ -\frac{\pi}{4} $.

8) Используем свойство арккотангенса для отрицательного аргумента: $ \operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg}(a) $. $ \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $. Из пункта 4 мы знаем, что $ \operatorname{arcctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\pi}{3} $. Следовательно, $ \operatorname{arcctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $. Угол $ \frac{2\pi}{3} $ принадлежит промежутку $ (0; \pi) $.
Ответ: $ \frac{2\pi}{3} $.

242. Найдите значение выражения:

1) $ \arcsin(-1) + \arccos 1 + \operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \operatorname{arcctg} (-\sqrt{3}); $

2) $ 3 \arccos 0 + 4 \arcsin 1 - 2 \arccos(-1) + 3 \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right). $

1) Найдем значение выражения $ \arcsin(-1) + \arccos 1 + \operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) $.

Для этого вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, используя определения и свойства обратных тригонометрических функций.

• $ \arcsin(-1) $ - это угол из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен -1. Следовательно, $ \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} $.
• $ \arccos 1 $ - это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен 1. Следовательно, $ \arccos 1 = 0 $.
• $ \operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $ - это угол из промежутка $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, тангенс которого равен $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $. Так как $ \operatorname{arctg} $ - нечетная функция, $ \operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x) $. Тогда $ \operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6} $.
• $ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) $ - это угол из промежутка $ (0, \pi) $, котангенс которого равен $ -\sqrt{3} $. Используем свойство $ \operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x) $. Тогда $ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Теперь сложим полученные значения:

$ -\frac{\pi}{2} + 0 + \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} $

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ -\frac{3\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{\pi}{6} $

Ответ: $ \frac{\pi}{6} $

2) Найдем значение выражения $ 3\arccos 0 + 4\arcsin 1 - 2\arccos(-1) + 3\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

Сначала вычислим значения обратных тригонометрических функций.

• $ \arccos 0 = \frac{\pi}{2} $, так как $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ и $ \frac{\pi}{2} \in [0, \pi] $.
• $ \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} $, так как $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ и $ \frac{\pi}{2} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.
• $ \arccos(-1) = \pi $, так как $ \cos(\pi) = -1 $ и $ \pi \in [0, \pi] $.
• $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $. Используем свойство $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $. Тогда $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ 3 \cdot \frac{\pi}{2} + 4 \cdot \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \pi + 3 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} - 2\pi + \frac{9\pi}{4} $

Теперь выполним арифметические действия:

$ \frac{7\pi}{2} - 2\pi + \frac{9\pi}{4} = \frac{7\pi - 4\pi}{2} + \frac{9\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + \frac{9\pi}{4} $

Приведем дроби к общему знаменателю 4:

$ \frac{3\pi \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} + \frac{9\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} $

Ответ: $ \frac{15\pi}{4} $

243. Вычислите:

1) $ \text{ctg} \left( \text{arcsin} \frac{\sqrt{3}}{2} \right) $;

2) $ \text{sin} (2 \text{ arctg} (-1)) $;

3) $ \text{tg} \left( 2\text{arctg} \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) + \text{arcsin} \frac{1}{2} \right) $;

4) $ \text{cos} \left( \text{arcsin} \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) - \text{arccos} \left( -\frac{1}{2} \right) + \text{arctg } 1 \right) $.

1) $ \operatorname{ctg}\left(\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}\right) $

Сначала найдем значение выражения в скобках. По определению арксинуса:

$ \arcsin\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $, так как $ \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $ и $ \frac{\pi}{3} \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $.

Теперь подставим это значение в исходное выражение:

$ \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\cos(\pi/3)}{\sin(\pi/3)} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ \frac{\sqrt{3}}{3} $

2) $ \sin(2 \operatorname{arctg}(-1)) $

Найдем значение арктангенса:

$ \operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4} $, так как $ \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 $ и $ -\frac{\pi}{4} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $.

Подставим это значение в выражение:

$ \sin\left(2 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) $.

Используя свойство нечетности синуса $ \sin(-x) = -\sin(x) $, получаем:

$ \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1 $.

Ответ: -1

3) $ \operatorname{tg}\left(2\operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \arcsin\frac{1}{2}\right) $

Вычислим значения обратных тригонометрических функций по отдельности.

$ \operatorname{arctg}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6} $, так как $ \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} $ и $ -\frac{\pi}{6} \in \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right) $.

$ \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} $, так как $ \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} $ и $ \frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $.

Теперь подставим найденные значения в аргумент тангенса:

$ 2 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{\pi}{6} = -\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{6} $.

Осталось вычислить тангенс от этого угла:

$ \operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $

4) $ \cos\left(\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + \operatorname{arctg}1\right) $

Найдем значения каждого слагаемого в скобках.

$ \arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{3} $.

$ \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $.

$ \operatorname{arctg}1 = \frac{\pi}{4} $.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \cos\left(-\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) $.

Упростим выражение в скобках:

$ -\frac{\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{4\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} $.

Теперь вычислим косинус:

$ \cos\left(-\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) $, так как косинус - четная функция.

$ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi - \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $

244. Вычислите:

1) $\cos \left( \arccos \frac{4}{5} \right);$

2) $\sin \left( \arcsin \frac{\pi}{12} \right);$

3) $\operatorname{tg} (\operatorname{arctg} 1).$

1) Для вычисления выражения $ \cos(\arccos\frac{4}{5}) $ используется основное свойство арккосинуса: $ \cos(\arccos(x)) = x $. Это равенство верно при условии, что $ x $ принадлежит отрезку $ [-1, 1] $. В данном случае $ x = \frac{4}{5} $. Так как $ -1 \le \frac{4}{5} \le 1 $, условие выполняется. Следовательно, $ \cos(\arccos\frac{4}{5}) = \frac{4}{5} $.
Ответ: $ \frac{4}{5} $.

2) Для вычисления выражения $ \sin(\arcsin\frac{\pi}{12}) $ используется основное свойство арксинуса: $ \sin(\arcsin(x)) = x $. Это равенство верно при условии, что $ x $ принадлежит отрезку $ [-1, 1] $. В данном случае $ x = \frac{\pi}{12} $. Оценим значение этого числа, используя приближение $ \pi \approx 3.14 $:
$ \frac{\pi}{12} \approx \frac{3.14}{12} \approx 0.26 $
Поскольку $ -1 \le 0.26 \le 1 $, условие выполняется. Таким образом, $ \sin(\arcsin\frac{\pi}{12}) = \frac{\pi}{12} $.
Ответ: $ \frac{\pi}{12} $.

3) Для вычисления $ \text{tg}(\text{arctg } 1) $ применяется основное свойство арктангенса: $ \text{tg}(\text{arctg}(x)) = x $. Это равенство верно для любого действительного числа $ x $. При $ x = 1 $ получаем: $ \text{tg}(\text{arctg } 1) = 1 $.
Также можно решить задачу по шагам:
1. Найти $ \text{arctg } 1 $. По определению, это угол из интервала $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен 1. Этот угол равен $ \frac{\pi}{4} $.
2. Подставить результат в исходное выражение: $ \text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $.
Ответ: $ 1 $.