Номер 239, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

239. Найдите наименьший положительный корень уравнения $\text{tg}\left(6x + \frac{\pi}{3}\right) = -1$.

Дано тригонометрическое уравнение:

$$ \tg\left(6x + \frac{\pi}{3}\right) = -1 $$

Общее решение уравнения вида $\tg(y) = a$ записывается формулой $y = \operatorname{arctg}(a) + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Применим эту формулу к нашему уравнению, где $y = 6x + \frac{\pi}{3}$ и $a = -1$.

$$ 6x + \frac{\pi}{3} = \operatorname{arctg}(-1) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Значение арктангенса от -1 равно $-\frac{\pi}{4}$. Подставим это значение в уравнение:

$$ 6x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{4} + \pi k $$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Сначала выразим $6x$, перенеся $\frac{\pi}{3}$ в правую часть:

$$ 6x = -\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} + \pi k $$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 12:

$$ 6x = -\frac{3\pi}{12} - \frac{4\pi}{12} + \pi k $$

$$ 6x = -\frac{7\pi}{12} + \pi k $$

Теперь разделим обе части уравнения на 6, чтобы найти $x$:

$$ x = \frac{-\frac{7\pi}{12} + \pi k}{6} $$

$$ x = -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi k}{6} $$

Мы нашли общее решение уравнения. По условию задачи, нам нужно найти наименьший положительный корень. Это означает, что мы должны найти наименьшее целое $k$, при котором $x > 0$.

Составим неравенство:

$$ -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi k}{6} > 0 $$

Перенесем член с минусом в правую часть:

$$ \frac{\pi k}{6} > \frac{7\pi}{72} $$

Разделим обе части на $\pi$ (поскольку $\pi > 0$, знак неравенства не меняется):

$$ \frac{k}{6} > \frac{7}{72} $$

Умножим обе части на 6:

$$ k > \frac{7 \cdot 6}{72} $$

$$ k > \frac{42}{72} $$

Сократим дробь в правой части:

$$ k > \frac{7}{12} $$

Так как $k$ — целое число, наименьшее целое $k$, удовлетворяющее этому неравенству, это $k = 1$.

Подставим $k = 1$ в формулу для $x$, чтобы найти наименьший положительный корень:

$$ x = -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi \cdot 1}{6} = -\frac{7\pi}{72} + \frac{\pi}{6} $$

Приведем дроби к общему знаменателю 72:

$$ x = -\frac{7\pi}{72} + \frac{12\pi}{72} $$

$$ x = \frac{12\pi - 7\pi}{72} $$

$$ x = \frac{5\pi}{72} $$

Ответ: $\frac{5\pi}{72}$