Номер 233, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

233. Сколько корней уравнения $\sin \left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$ удовлетворяют неравенству $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$?

Чтобы определить количество корней уравнения, удовлетворяющих заданному неравенству, сначала найдем общее решение уравнения, а затем отберем корни, попадающие в указанный интервал.

1. Решение уравнения
Дано уравнение: $\sin\left(2x + \frac{2\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}$.
Общее решение для уравнения $\sin(t) = a$ имеет вид $t = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. В нашем случае $t = 2x + \frac{2\pi}{3}$ и $a = -\frac{1}{2}$.
Поскольку $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, получаем:
$2x + \frac{2\pi}{3} = (-1)^k \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi k$
$2x + \frac{2\pi}{3} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k$
Для удобства отбора корней рассмотрим две серии решений, соответствующие четным и нечетным $k$.

Серия 1 (для четных k, например $k=2n$):
$2x + \frac{2\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$2x = -\frac{\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} + 2\pi n$
$2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
$x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Серия 2 (для нечетных k, например $k=2n+1$):
$2x + \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi(2n+1) = \frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$
$2x = \frac{7\pi}{6} - \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$
$2x = \frac{7\pi}{6} - \frac{4\pi}{6} + 2\pi n$
$2x = \frac{3\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Отбор корней
Теперь найдем, какие из полученных корней удовлетворяют неравенству $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$.

Для серии $x = -\frac{5\pi}{12} + \pi n$:
$-\frac{\pi}{2} < -\frac{5\pi}{12} + \pi n < \frac{\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{1}{2} < -\frac{5}{12} + n < \frac{1}{2}$
Прибавим ко всем частям $\frac{5}{12}$:
$-\frac{6}{12} + \frac{5}{12} < n < \frac{6}{12} + \frac{5}{12}$
$-\frac{1}{12} < n < \frac{11}{12}$
Единственное целое число $n$ в этом интервале — это $n=0$. При $n=0$ получаем корень $x_1 = -\frac{5\pi}{12}$.

Для серии $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$:
$-\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{4} + \pi n < \frac{\pi}{2}$
Разделим все части на $\pi$:
$-\frac{1}{2} < \frac{1}{4} + n < \frac{1}{2}$
Вычтем из всех частей $\frac{1}{4}$:
$-\frac{2}{4} - \frac{1}{4} < n < \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$
$-\frac{3}{4} < n < \frac{1}{4}$
Единственное целое число $n$ в этом интервале — это $n=0$. При $n=0$ получаем корень $x_2 = \frac{\pi}{4}$.

Таким образом, неравенству $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ удовлетворяют два корня: $x_1 = -\frac{5\pi}{12}$ и $x_2 = \frac{\pi}{4}$.

Ответ: 2