Номер 232, страница 144 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

232. Решите уравнение:

1) $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1$;

2) $\sqrt{2} \cos x + \sqrt{2} \sin x = -1$;

3) $\sin x - \cos x = \sqrt{2}$.

Данное уравнение $\sqrt{3} \cos x - \sin x = 1$ является линейным тригонометрическим уравнением вида $a \cos x + b \sin x = c$. Для его решения используем метод введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3+1} = \sqrt{4} = 2$:

$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x - \frac{1}{2} \sin x = \frac{1}{2}$

Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos(\frac{\pi}{6})$ и $\frac{1}{2} = \sin(\frac{\pi}{6})$. Подставим эти значения в уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{6}) \cos x - \sin(\frac{\pi}{6}) \sin x = \frac{1}{2}$

Используя формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$, получим:

$\cos(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

Решим это простейшее тригонометрическое уравнение:

$x + \frac{\pi}{6} = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x + \frac{\pi}{6} = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$

Это дает две серии решений:

1) $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$

2) $x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Уравнение $\sqrt{2} \cos x + \sqrt{2} \sin x = -1$ также решается методом введения вспомогательного угла.

Разделим обе части уравнения на $\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2+2} = \sqrt{4} = 2$:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = -\frac{1}{2}$

Так как $\frac{\sqrt{2}}{2} = \cos(\frac{\pi}{4})$ и $\frac{\sqrt{2}}{2} = \sin(\frac{\pi}{4})$, можем переписать уравнение:

$\cos(\frac{\pi}{4}) \cos x + \sin(\frac{\pi}{4}) \sin x = -\frac{1}{2}$

Применяем формулу косинуса разности $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$:

$\cos(x - \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{2}$

Решаем полученное уравнение:

$x - \frac{\pi}{4} = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x - \frac{\pi}{4} = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$

Получаем две серии решений:

1) $x - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{8\pi+3\pi}{12} + 2\pi n \implies x = \frac{11\pi}{12} + 2\pi n$

2) $x - \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \implies x = -\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{-8\pi+3\pi}{12} + 2\pi n \implies x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n$

Ответ: $x = \frac{11\pi}{12} + 2\pi n, \quad x = -\frac{5\pi}{12} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Для решения уравнения $\sin x - \cos x = \sqrt{2}$ используем тот же метод.

Разделим обе части на $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 1$

Заменим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\cos(\frac{\pi}{4})$ и $\sin(\frac{\pi}{4})$ соответственно:

$\sin x \cos(\frac{\pi}{4}) - \cos x \sin(\frac{\pi}{4}) = 1$

Используя формулу синуса разности $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$, получаем:

$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$

Это частный случай простейшего тригонометрического уравнения. Его решение:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$

$x = \frac{2\pi+\pi}{4} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.