Номер 229, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

229. Определите количество корней уравнения $\cos x = a$ на промежутке $[ -\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{4} ]$ в зависимости от значения $a$.

Для решения задачи проанализируем поведение функции $ y = \cos x $ на отрезке $ \left[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{4}\right] $. Количество корней уравнения $ \cos x = a $ на данном отрезке будет равно количеству точек пересечения графика функции $ y = \cos x $ и горизонтальной прямой $ y = a $.

Исследуем функцию $ y = \cos x $ на отрезке $ \left[-\frac{\pi}{3}; \frac{3\pi}{4}\right] $:

1. Вычислим значения функции на концах отрезка:
   $ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $
   $ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
2. На отрезке $ \left[-\frac{\pi}{3}; 0\right] $ функция $ \cos x $ возрастает от $ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} $ до $ \cos(0) = 1 $.
3. На отрезке $ \left[0; \frac{3\pi}{4}\right] $ функция $ \cos x $ убывает от $ \cos(0) = 1 $ до $ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $.

Таким образом, наименьшее значение функции на всем отрезке равно $ -\frac{\sqrt{2}}{2} $, а наибольшее равно $ 1 $. Область значений функции: $ E(y) = \left[-\frac{\sqrt{2}}{2}; 1\right] $.

Теперь рассмотрим различные случаи в зависимости от значения параметра $ a $.

При $ a < -\frac{\sqrt{2}}{2} $ или $ a > 1 $
Значение $ a $ находится вне области значений функции на данном отрезке, поэтому прямая $ y=a $ не пересекает график $ y=\cos x $.
Ответ: 0 корней.

При $ a = -\frac{\sqrt{2}}{2} $
Прямая $ y = -\frac{\sqrt{2}}{2} $ пересекает график в одной точке, соответствующей правому концу отрезка: $ x = \frac{3\pi}{4} $.
Ответ: 1 корень.

При $ -\frac{\sqrt{2}}{2} < a < \frac{1}{2} $
Прямая $ y=a $ пересекает график функции только один раз. Это пересечение происходит на участке убывания $ \left(0, \frac{3\pi}{4}\right) $. На участке возрастания $ \left[-\frac{\pi}{3}, 0\right] $ значения $ \cos x $ не меньше $ \frac{1}{2} $, поэтому там пересечений нет.
Ответ: 1 корень.

При $ a = \frac{1}{2} $
Прямая $ y=\frac{1}{2} $ пересекает график в двух точках: $ x_1 = -\frac{\pi}{3} $ (левый конец отрезка) и $ x_2 = \frac{\pi}{3} $ (на участке убывания).
Ответ: 2 корня.

При $ \frac{1}{2} < a < 1 $
Прямая $ y=a $ пересекает график дважды: один раз на участке возрастания $ \left(-\frac{\pi}{3}, 0\right) $ и один раз на участке убывания $ \left(0, \frac{\pi}{3}\right) $.
Ответ: 2 корня.

При $ a = 1 $
Прямая $ y=1 $ касается графика в точке максимума $ x = 0 $.
Ответ: 1 корень.

Общий итог:

• Если $ a \in \left(-\infty; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cup (1; +\infty) $, то корней нет.
• Если $ a \in \left[-\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{1}{2}\right) \cup \{1\} $, то один корень.
• Если $ a \in \left[\frac{1}{2}; 1\right) $, то два корня.