Номер 227, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Найдите все корни уравнения $\cos \left(2x+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, удовлетворяющие неравенству $-\frac{3\pi}{8} < x < \frac{5\pi}{8}$.

Сначала решим тригонометрическое уравнение:

$$ \cos\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$

Аргумент косинуса $2x + \frac{\pi}{6}$ должен быть равен углам, косинус которых равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Эти углы равны $\pm\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n$, то есть $\pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

$$ 2x + \frac{\pi}{6} = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Рассмотрим два случая для двух серий решений.

Первая серия решений:

$$ 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n $$

Выразим $x$:

$$ 2x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n $$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$$ 2x = \frac{9\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + 2\pi n $$

$$ 2x = \frac{7\pi}{12} + 2\pi n $$

Разделим обе части на 2:

$$ x = \frac{7\pi}{24} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Вторая серия решений:

$$ 2x + \frac{\pi}{6} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n $$

Выразим $x$:

$$ 2x = -\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} + 2\pi n $$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$$ 2x = -\frac{9\pi}{12} - \frac{2\pi}{12} + 2\pi n $$

$$ 2x = -\frac{11\pi}{12} + 2\pi n $$

Разделим обе части на 2:

$$ x = -\frac{11\pi}{24} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Теперь необходимо найти те корни, которые удовлетворяют неравенству $-\frac{3\pi}{8} < x < \frac{5\pi}{8}$.

Для удобства сравнения приведем дроби в неравенстве к общему знаменателю 24:

$$ -\frac{3\pi}{8} = -\frac{3 \cdot 3 \pi}{8 \cdot 3} = -\frac{9\pi}{24} $$

$$ \frac{5\pi}{8} = \frac{5 \cdot 3 \pi}{8 \cdot 3} = \frac{15\pi}{24} $$

Таким образом, искомые корни должны удовлетворять неравенству:

$$ -\frac{9\pi}{24} < x < \frac{15\pi}{24} $$

Подставим в это неравенство найденные серии корней и найдем подходящие целые значения $n$.

Отбор корней для первой серии $x = \frac{7\pi}{24} + \pi n$:

$$ -\frac{9\pi}{24} < \frac{7\pi}{24} + \pi n < \frac{15\pi}{24} $$

Разделим все части неравенства на $\pi$ и умножим на 24:

$$ -9 < 7 + 24n < 15 $$

Вычтем 7 из всех частей:

$$ -16 < 24n < 8 $$

Разделим все части на 24:

$$ -\frac{16}{24} < n < \frac{8}{24} $$

$$ -\frac{2}{3} < n < \frac{1}{3} $$

Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n = 0$.

При $n=0$ корень равен: $x = \frac{7\pi}{24} + \pi \cdot 0 = \frac{7\pi}{24}$.

Отбор корней для второй серии $x = -\frac{11\pi}{24} + \pi n$:

$$ -\frac{9\pi}{24} < -\frac{11\pi}{24} + \pi n < \frac{15\pi}{24} $$

Разделим все части неравенства на $\pi$ и умножим на 24:

$$ -9 < -11 + 24n < 15 $$

Прибавим 11 ко всем частям:

$$ 2 < 24n < 26 $$

Разделим все части на 24:

$$ \frac{2}{24} < n < \frac{26}{24} $$

$$ \frac{1}{12} < n < 1\frac{2}{24} $$

Единственное целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n = 1$.

При $n=1$ корень равен: $x = -\frac{11\pi}{24} + \pi \cdot 1 = \frac{-11\pi + 24\pi}{24} = \frac{13\pi}{24}$.

Таким образом, в заданном интервале находятся два корня.

Ответ: $\frac{7\pi}{24}; \frac{13\pi}{24}$.