Номер 228, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

228. При каких значениях a уравнение имеет решения:

1) $\cos x = a + 4;$

2) $\cos x = a^2 - 4a + 5;$

3) $(a - 1)\cos x = a - 2?$;

Для того чтобы уравнение, содержащее $ \cos x $, имело решения, необходимо и достаточно, чтобы выражение, которому равен $ \cos x $, принадлежало отрезку $ [-1, 1] $, так как это область значений функции косинус. То есть, должно выполняться неравенство:

$ -1 \le \cos x \le 1 $

1) $ \cos x = a + 4 $

Применяем условие существования решений к правой части уравнения:

$ -1 \le a + 4 \le 1 $

Чтобы найти значения $ a $, вычтем 4 из всех частей двойного неравенства:

$ -1 - 4 \le a \le 1 - 4 $

$ -5 \le a \le -3 $

Таким образом, решения существуют при $ a $, принадлежащем отрезку от -5 до -3.

Ответ: $ a \in [-5, -3] $.

2) $ \cos x = a^2 - 4a + 5 $

Применяем условие существования решений:

$ -1 \le a^2 - 4a + 5 \le 1 $

Рассмотрим правую часть выражения $ a^2 - 4a + 5 $. Выделим в ней полный квадрат:

$ a^2 - 4a + 5 = (a^2 - 4a + 4) + 1 = (a - 2)^2 + 1 $

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $ (a - 2)^2 \ge 0 $. Следовательно, минимальное значение выражения $ (a - 2)^2 + 1 $ равно 1, и достигается оно при $ a = 2 $. Область значений функции $ f(a) = a^2 - 4a + 5 $ есть $ [1, +\infty) $.

Условие $ -1 \le a^2 - 4a + 5 \le 1 $ может выполняться только в том случае, если выражение $ a^2 - 4a + 5 $ равно 1, так как это единственное значение, общее для отрезка $ [-1, 1] $ (область значений косинуса) и луча $ [1, +\infty) $ (область значений правой части).

Приравняем правую часть к 1:

$ a^2 - 4a + 5 = 1 $

$ a^2 - 4a + 4 = 0 $

$ (a - 2)^2 = 0 $

$ a - 2 = 0 $

$ a = 2 $

Ответ: $ a = 2 $.

3) $ (a - 1)\cos x = a - 2 $

Рассмотрим два случая в зависимости от значения коэффициента при $ \cos x $.

Случай 1: Коэффициент $ a - 1 = 0 $, то есть $ a = 1 $.

Подставим $ a = 1 $ в исходное уравнение:

$ (1 - 1)\cos x = 1 - 2 $

$ 0 \cdot \cos x = -1 $

$ 0 = -1 $

Получено неверное равенство, следовательно, при $ a = 1 $ уравнение решений не имеет.

Случай 2: Коэффициент $ a - 1 \neq 0 $, то есть $ a \neq 1 $.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $ (a - 1) $:

$ \cos x = \frac{a - 2}{a - 1} $

Для существования решений необходимо, чтобы правая часть принадлежала отрезку $ [-1, 1] $:

$ -1 \le \frac{a - 2}{a - 1} \le 1 $

Это двойное неравенство равносильно системе из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно: $ \frac{a - 2}{a - 1} \ge -1 $ и $ \frac{a - 2}{a - 1} \le 1 $.

Решим первое неравенство:

$ \frac{a - 2}{a - 1} + 1 \ge 0 \implies \frac{a - 2 + a - 1}{a - 1} \ge 0 \implies \frac{2a - 3}{a - 1} \ge 0 $

Решая это неравенство методом интервалов, получаем $ a \in (-\infty, 1) \cup [1,5; +\infty) $.

Решим второе неравенство:

$ \frac{a - 2}{a - 1} - 1 \le 0 \implies \frac{a - 2 - (a - 1)}{a - 1} \le 0 \implies \frac{-1}{a - 1} \le 0 $

Так как числитель дроби отрицателен, неравенство выполняется, когда знаменатель положителен:

$ a - 1 > 0 \implies a > 1 $.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $ a \in ((-\infty, 1) \cup [1,5; +\infty)) \cap (1, +\infty) $.

Пересечением является промежуток $ [1,5; +\infty) $.

Ответ: $ a \in [1,5; +\infty) $.