Номер 226, страница 143 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

226. Сколько корней уравнения $\cos \left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ принадлежат промежутку $\left[0; \frac{3\pi}{4}\right]$?

Для решения задачи сначала найдем общее решение тригонометрического уравнения:

$\cos\left(3x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Это уравнение распадается на две серии решений, так как $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$.

$3x - \frac{\pi}{4} = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим каждую серию отдельно.

1. Первая серия решений:

$3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$3x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

2. Вторая серия решений:

$3x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$3x = -\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$3x = 2\pi n$
$x = \frac{2\pi n}{3}$

Теперь необходимо определить, сколько корней из этих двух серий попадает в заданный промежуток $\left[0; \frac{3\pi}{4}\right]$.

Отбор корней для первой серии $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$

Решим неравенство: $0 \le \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3} \le \frac{3\pi}{4}$.
Разделим все части на $\pi$:
$0 \le \frac{1}{6} + \frac{2n}{3} \le \frac{3}{4}$
Вычтем $\frac{1}{6}$:
$-\frac{1}{6} \le \frac{2n}{3} \le \frac{3}{4} - \frac{1}{6}$
$-\frac{1}{6} \le \frac{2n}{3} \le \frac{9-2}{12}$
$-\frac{1}{6} \le \frac{2n}{3} \le \frac{7}{12}$
Умножим на $\frac{3}{2}$:
$-\frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} \le n \le \frac{7}{12} \cdot \frac{3}{2}$
$-\frac{1}{4} \le n \le \frac{7}{8}$
Единственное целое значение $n$ в этом интервале — это $n=0$.
При $n=0$ получаем корень $x = \frac{\pi}{6}$. Этот корень принадлежит заданному промежутку.

Отбор корней для второй серии $x = \frac{2\pi n}{3}$

Решим неравенство: $0 \le \frac{2\pi n}{3} \le \frac{3\pi}{4}$.
Разделим все части на $\pi$ и умножим на $\frac{3}{2}$:
$0 \cdot \frac{3}{2} \le n \le \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{2}$
$0 \le n \le \frac{9}{8}$
Целые значения $n$ в этом интервале — это $n=0$ и $n=1$.
При $n=0$ получаем корень $x = 0$. Этот корень принадлежит промежутку.
При $n=1$ получаем корень $x = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень также принадлежит промежутку, так как $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$, а $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$, то есть $\frac{2\pi}{3} < \frac{3\pi}{4}$.

В итоге, на промежутке $\left[0; \frac{3\pi}{4}\right]$ находятся три корня: $\frac{\pi}{6}$, $0$ и $\frac{2\pi}{3}$.
Следовательно, уравнение имеет 3 корня на заданном промежутке.

Ответ: 3