Номер 220, страница 142 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

220. Докажите тождество

$4\sin^2 \alpha - 3 = -4 \cos \left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) \cos \left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$

Для доказательства тождества $4\sin^2 \alpha - 3 = -4\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right)$ преобразуем его правую часть.

Сначала упростим произведение косинусов, используя формулы косинуса суммы и разности:
$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$
$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$
Тогда:
$\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = \left(\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha - \sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha\right)\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha + \sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha\right)$.

Применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$, получаем:
$\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos\alpha\right)^2 - \left(\sin\frac{\pi}{6}\sin\alpha\right)^2 = \cos^2\frac{\pi}{6}\cos^2\alpha - \sin^2\frac{\pi}{6}\sin^2\alpha$.

Подставим известные значения $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ и $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\cos^2\alpha - \left(\frac{1}{2}\right)^2\sin^2\alpha = \frac{3}{4}\cos^2\alpha - \frac{1}{4}\sin^2\alpha$.

Теперь подставим полученное выражение в правую часть исходного тождества:
$-4\cos\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right)\cos\left(\frac{\pi}{6} - \alpha\right) = -4\left(\frac{3}{4}\cos^2\alpha - \frac{1}{4}\sin^2\alpha\right)$.
Раскрывая скобки, получаем:
$-4 \cdot \frac{3}{4}\cos^2\alpha + 4 \cdot \frac{1}{4}\sin^2\alpha = -3\cos^2\alpha + \sin^2\alpha$.

Чтобы привести это выражение к виду левой части, используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha$:
$-3(1 - \sin^2\alpha) + \sin^2\alpha = -3 + 3\sin^2\alpha + \sin^2\alpha = 4\sin^2\alpha - 3$.

Мы показали, что правая часть тождества равна $4\sin^2\alpha - 3$, что совпадает с левой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.