Номер 213, страница 141 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

213. Упростите выражение $\sqrt{(\operatorname{ctg}^2\alpha - \operatorname{tg}^2\alpha)\cos 2\alpha \cdot \operatorname{tg} 2\alpha}$, если $-\frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2}$.

Для упрощения выражения $ \sqrt{(\cot^2 \alpha - \tan^2 \alpha)\cos(2\alpha)} \cdot \tan(2\alpha) $ при условии $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $ выполним следующие шаги.

Сначала преобразуем разность квадратов котангенса и тангенса в подкоренном выражении:
$ \cot^2 \alpha - \tan^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} - \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha}{\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha} $.

Разложим числитель по формуле разности квадратов и применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 $ и формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha $:
$ \cos^4 \alpha - \sin^4 \alpha = (\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha)(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = \cos(2\alpha) \cdot 1 = \cos(2\alpha) $.

Преобразуем знаменатель, используя формулу синуса двойного угла $ \sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha $:
$ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = (\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \left(\frac{\sin(2\alpha)}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2(2\alpha)}{4} $.

Таким образом, разность квадратов равна:
$ \cot^2 \alpha - \tan^2 \alpha = \frac{\cos(2\alpha)}{\frac{\sin^2(2\alpha)}{4}} = \frac{4\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} $.

Теперь подставим это в полное подкоренное выражение:
$ (\cot^2 \alpha - \tan^2 \alpha)\cos(2\alpha) = \frac{4\cos(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} \cdot \cos(2\alpha) = \frac{4\cos^2(2\alpha)}{\sin^2(2\alpha)} = 4\cot^2(2\alpha) $.

Исходное выражение принимает вид:
$ \sqrt{4\cot^2(2\alpha)} \cdot \tan(2\alpha) = |2\cot(2\alpha)| \cdot \tan(2\alpha) $.

Определим знак $ \cot(2\alpha) $ из заданного условия $ \frac{\pi}{4} < \alpha < \frac{\pi}{2} $. Умножив неравенство на 2, получим интервал для $ 2\alpha $:
$ 2 \cdot \frac{\pi}{4} < 2\alpha < 2 \cdot \frac{\pi}{2} $
$ \frac{\pi}{2} < 2\alpha < \pi $.
Этот интервал соответствует второй четверти, где котангенс отрицателен ($ \cot(2\alpha) < 0 $).

Следовательно, модуль раскрывается со знаком минус: $ |2\cot(2\alpha)| = -2\cot(2\alpha) $.

Подставляем и вычисляем окончательный результат, используя тождество $ \cot(x) \tan(x) = 1 $:
$ -2\cot(2\alpha) \cdot \tan(2\alpha) = -2 \cdot 1 = -2 $.

Ответ: $-2$