Номер 206, страница 140 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

206. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 + \cos 6\alpha$;

2) $1 - \cos \frac{\alpha}{4}$;

3) $1 + \sin \frac{\pi}{10}$;

4) $1 - \sin \frac{\alpha}{2}$.

1) Для преобразования выражения $1 + \cos(6\alpha)$ в произведение, воспользуемся формулой понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.

В данном случае аргумент косинуса равен $6\alpha$. Приравняем его к $2x$ из формулы:

$2x = 6\alpha$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{6\alpha}{2} = 3\alpha$

Теперь подставим значение $x$ в формулу:

$1 + \cos(6\alpha) = 2\cos^2(3\alpha)$

Выражение $2\cos^2(3\alpha)$ является произведением, так как его можно записать как $2 \cdot \cos(3\alpha) \cdot \cos(3\alpha)$.

Ответ: $2\cos^2(3\alpha)$

2) Для преобразования выражения $1 - \cos(\frac{\alpha}{4})$ в произведение, используем другую формулу понижения степени: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

Приравняем аргумент косинуса $2x$ к нашему значению $\frac{\alpha}{4}$:

$2x = \frac{\alpha}{4}$

Находим $x$:

$x = \frac{\alpha}{4 \cdot 2} = \frac{\alpha}{8}$

Подставляем найденное значение $x$ в формулу:

$1 - \cos(\frac{\alpha}{4}) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{8})$

Ответ: $2\sin^2(\frac{\alpha}{8})$

3) Чтобы представить в виде произведения выражение $1 + \sin(\frac{\pi}{10})$, сначала воспользуемся формулой приведения: $\sin(y) = \cos(\frac{\pi}{2} - y)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $y = \frac{\pi}{10}$:

$\sin(\frac{\pi}{10}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{10}) = \cos(\frac{5\pi}{10} - \frac{\pi}{10}) = \cos(\frac{4\pi}{10}) = \cos(\frac{2\pi}{5})$

Теперь исходное выражение имеет вид: $1 + \cos(\frac{2\pi}{5})$.

Далее применим уже известную формулу $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.

В нашем случае $2x = \frac{2\pi}{5}$, откуда $x = \frac{\pi}{5}$.

Подставляем $x$ в формулу:

$1 + \cos(\frac{2\pi}{5}) = 2\cos^2(\frac{\pi}{5})$

Ответ: $2\cos^2(\frac{\pi}{5})$

4) Для преобразования выражения $1 - \sin(\frac{\alpha}{2})$ используем тот же подход, что и в предыдущем пункте. Сначала применим формулу приведения $\sin(y) = \cos(\frac{\pi}{2} - y)$.

В нашем случае $y = \frac{\alpha}{2}$, поэтому:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2})$

Выражение принимает вид: $1 - \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2})$.

Теперь воспользуемся формулой $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

Приравняем $2x$ к аргументу косинуса:

$2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}$

Найдем $x$:

$x = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4}$

Подставляем $x$ в формулу:

$1 - \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4})$

Ответ: $2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4})$