Страница 140 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Примените формулы двойного угла к выражению:

1) $\sin 12\alpha$;

2) $\sin \frac{\alpha}{2}$;

3) $\cos 7\alpha$;

4) $\operatorname{tg} 4\alpha$;

5) $\cos (\alpha + \beta)$;

6) $\cos 4$;

7) $\sin (\beta + 108^{\circ})$;

8) $\cos \left( \frac{6x}{7} - \frac{2\pi}{3} \right)$.

1) Для преобразования выражения $sin(12\alpha)$ используется формула синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$. Чтобы применить эту формулу, представим угол $12\alpha$ в виде $2 \cdot 6\alpha$. В этом случае аргумент $x$ нашей формулы равен $6\alpha$. Подставим $6\alpha$ вместо $x$ в формулу синуса двойного угла: $sin(12\alpha) = sin(2 \cdot 6\alpha) = 2sin(6\alpha)cos(6\alpha)$.
Ответ: $2sin(6\alpha)cos(6\alpha)$.

2) Для выражения $sin(\frac{\alpha}{2})$ применим ту же формулу синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$. Представим угол $\frac{\alpha}{2}$ как произведение $2 \cdot \frac{\alpha}{4}$. Тогда $x = \frac{\alpha}{4}$. Применяя формулу, получаем: $sin(\frac{\alpha}{2}) = sin(2 \cdot \frac{\alpha}{4}) = 2sin(\frac{\alpha}{4})cos(\frac{\alpha}{4})$.
Ответ: $2sin(\frac{\alpha}{4})cos(\frac{\alpha}{4})$.

3) Для выражения $cos(7\alpha)$ применим формулу косинуса двойного угла. У этой формулы есть три основные формы: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$, $cos(2x) = 2cos^2(x) - 1$, $cos(2x) = 1 - 2sin^2(x)$. Представим угол $7\alpha$ в виде $2 \cdot \frac{7\alpha}{2}$. В этом случае $x = \frac{7\alpha}{2}$. Используя первую формулу, получаем: $cos(7\alpha) = cos(2 \cdot \frac{7\alpha}{2}) = cos^2(\frac{7\alpha}{2}) - sin^2(\frac{7\alpha}{2})$.
Ответ: $cos^2(\frac{7\alpha}{2}) - sin^2(\frac{7\alpha}{2})$.

4) Для выражения $tg(4\alpha)$ используется формула тангенса двойного угла: $tg(2x) = \frac{2tg(x)}{1 - tg^2(x)}$. Представим угол $4\alpha$ как $2 \cdot 2\alpha$. В этом случае $x = 2\alpha$. Подставив $2\alpha$ в формулу, получим: $tg(4\alpha) = tg(2 \cdot 2\alpha) = \frac{2tg(2\alpha)}{1 - tg^2(2\alpha)}$.
Ответ: $\frac{2tg(2\alpha)}{1 - tg^2(2\alpha)}$.

5) Для выражения $cos(\alpha + \beta)$ применим формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$. Представим угол $(\alpha + \beta)$ в виде $2 \cdot \frac{\alpha + \beta}{2}$. Тогда $x = \frac{\alpha + \beta}{2}$. Применяя формулу, получаем: $cos(\alpha + \beta) = cos(2 \cdot \frac{\alpha + \beta}{2}) = cos^2(\frac{\alpha + \beta}{2}) - sin^2(\frac{\alpha + \beta}{2})$.
Ответ: $cos^2(\frac{\alpha + \beta}{2}) - sin^2(\frac{\alpha + \beta}{2})$.

6) Для выражения $cos(4)$ (где 4 — это угол в радианах) применим формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$. Представим угол $4$ как $2 \cdot 2$. В данном случае $x = 2$. Подставим значение в формулу: $cos(4) = cos(2 \cdot 2) = cos^2(2) - sin^2(2)$.
Ответ: $cos^2(2) - sin^2(2)$.

7) Для выражения $sin(\beta + 108^\circ)$ применим формулу синуса двойного угла: $sin(2x) = 2sin(x)cos(x)$. Представим угол $(\beta + 108^\circ)$ в виде $2 \cdot \frac{\beta + 108^\circ}{2}$, что равно $2 \cdot (\frac{\beta}{2} + 54^\circ)$. Здесь $x = \frac{\beta}{2} + 54^\circ$. Применяя формулу, получаем: $sin(\beta + 108^\circ) = 2sin(\frac{\beta}{2} + 54^\circ)cos(\frac{\beta}{2} + 54^\circ)$.
Ответ: $2sin(\frac{\beta}{2} + 54^\circ)cos(\frac{\beta}{2} + 54^\circ)$.

8) Для выражения $cos(\frac{6x}{7} - \frac{2\pi}{3})$ применим формулу косинуса двойного угла: $cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x)$. Представим угол $(\frac{6x}{7} - \frac{2\pi}{3})$ как $2 \cdot (\frac{1}{2}(\frac{6x}{7} - \frac{2\pi}{3})) = 2 \cdot (\frac{3x}{7} - \frac{\pi}{3})$. В этом случае $x = \frac{3x}{7} - \frac{\pi}{3}$. Подставляя в формулу, получаем: $cos(\frac{6x}{7} - \frac{2\pi}{3}) = cos^2(\frac{3x}{7} - \frac{\pi}{3}) - sin^2(\frac{3x}{7} - \frac{\pi}{3})$.
Ответ: $cos^2(\frac{3x}{7} - \frac{\pi}{3}) - sin^2(\frac{3x}{7} - \frac{\pi}{3})$.

204. Найдите значение выражения:

1) $1-2\cos^2\frac{\pi}{8};$

2) $\frac{\text{tg}^2 75^\circ - 1}{\text{tg}^2 75^\circ + 1};$

3) $2\sin 7,5^\circ \cos 7,5^\circ \cos 15^\circ.$

1) Для решения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$. Вынесем минус за скобки в исходном выражении: $1 - 2\cos^2\frac{\pi}{8} = -(2\cos^2\frac{\pi}{8} - 1)$. Теперь выражение в скобках соответствует правой части формулы косинуса двойного угла при $\alpha = \frac{\pi}{8}$. Применим формулу: $-(2\cos^2\frac{\pi}{8} - 1) = -\cos(2 \cdot \frac{\pi}{8}) = -\cos(\frac{\pi}{4})$. Мы знаем, что значение $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, итоговое значение выражения равно $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

2) Преобразуем выражение, используя определение тангенса $\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. $\frac{\tg^2 75^\circ - 1}{\tg^2 75^\circ + 1} = \frac{\frac{\sin^2 75^\circ}{\cos^2 75^\circ} - 1}{\frac{\sin^2 75^\circ}{\cos^2 75^\circ} + 1}$. Чтобы избавиться от дробей в числителе и знаменателе, умножим их на $\cos^2 75^\circ$: $\frac{(\frac{\sin^2 75^\circ}{\cos^2 75^\circ} - 1) \cdot \cos^2 75^\circ}{(\frac{\sin^2 75^\circ}{\cos^2 75^\circ} + 1) \cdot \cos^2 75^\circ} = \frac{\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ}{\sin^2 75^\circ + \cos^2 75^\circ}$. Знаменатель дроби, $\sin^2 75^\circ + \cos^2 75^\circ$, равен 1 согласно основному тригонометрическому тождеству. Числитель дроби, $\sin^2 75^\circ - \cos^2 75^\circ$, можно преобразовать: $-(\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ)$. Выражение в скобках является формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ при $\alpha = 75^\circ$. Таким образом, получаем: $\frac{-(\cos^2 75^\circ - \sin^2 75^\circ)}{1} = -\cos(2 \cdot 75^\circ) = -\cos(150^\circ)$. Найдем значение $\cos(150^\circ)$, используя формулу приведения: $\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Итоговое значение выражения: $-\cos(150^\circ) = -(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3) Для решения воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Рассмотрим первые два множителя в исходном выражении: $2\sin 7.5^\circ \cos 7.5^\circ$. Они соответствуют правой части формулы синуса двойного угла при $\alpha = 7.5^\circ$. $2\sin 7.5^\circ \cos 7.5^\circ = \sin(2 \cdot 7.5^\circ) = \sin(15^\circ)$. Теперь исходное выражение принимает вид: $\sin(15^\circ) \cos(15^\circ)$. Это выражение похоже на формулу синуса двойного угла, но не хватает множителя 2. Домножим и разделим выражение на 2: $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \cdot (2\sin 15^\circ \cos 15^\circ)$. Теперь применим формулу синуса двойного угла для выражения в скобках, где $\alpha = 15^\circ$: $2\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin(30^\circ)$. Подставим это значение обратно: $\frac{1}{2} \cdot \sin(30^\circ)$. Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. Итоговое значение: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

205. Упростите выражение:

1) $\frac{\sin 14\alpha}{\sin 7\alpha}$;

2) $\frac{\cos 9\alpha}{\cos \frac{9\alpha}{2} - \sin \frac{9\alpha}{2}}$;

3) $1 - 2\cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - 8\alpha \right)$;

4) $\sin \frac{4\alpha}{9} \cos \frac{4\alpha}{9} - \cos \frac{8\alpha}{9}$;

5) $\frac{\text{ctg} \frac{\alpha}{5} \text{tg} \frac{\alpha}{10}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{10}}$;

6) $\frac{2\text{ctg} 4\alpha \text{tg} 2\alpha}{1 + \text{tg}^2 2\alpha}$;

7) $\sin^2 5\alpha + \frac{\left( 1 - \text{tg}^2 \frac{5\alpha}{2} \right)^2}{\left( 1 + \text{tg}^2 \frac{5\alpha}{2} \right)^2}$.

1) Упростим выражение $ \frac{\sin 14\alpha}{\sin 7\alpha} $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $.

Представим $ 14\alpha $ как $ 2 \cdot 7\alpha $. Тогда, приняв $ x = 7\alpha $, получим:

$ \frac{\sin(2 \cdot 7\alpha)}{\sin 7\alpha} = \frac{2 \sin 7\alpha \cos 7\alpha}{\sin 7\alpha} $

Сократим $ \sin 7\alpha $ в числителе и знаменателе (при условии, что $ \sin 7\alpha \neq 0 $):

$ 2 \cos 7\alpha $

Ответ: $ 2 \cos 7\alpha $.

2) Упростим выражение $ \frac{\cos 9\alpha}{\cos \frac{9\alpha}{2} - \sin \frac{9\alpha}{2}} $.

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $.

Представим $ 9\alpha $ как $ 2 \cdot \frac{9\alpha}{2} $. Тогда, приняв $ x = \frac{9\alpha}{2} $, получим:

$ \cos 9\alpha = \cos^2 \frac{9\alpha}{2} - \sin^2 \frac{9\alpha}{2} $

Разложим числитель по формуле разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $:

$ \frac{\cos^2 \frac{9\alpha}{2} - \sin^2 \frac{9\alpha}{2}}{\cos \frac{9\alpha}{2} - \sin \frac{9\alpha}{2}} = \frac{(\cos \frac{9\alpha}{2} - \sin \frac{9\alpha}{2})(\cos \frac{9\alpha}{2} + \sin \frac{9\alpha}{2})}{\cos \frac{9\alpha}{2} - \sin \frac{9\alpha}{2}} $

Сократим общий множитель $ (\cos \frac{9\alpha}{2} - \sin \frac{9\alpha}{2}) $:

$ \cos \frac{9\alpha}{2} + \sin \frac{9\alpha}{2} $

Ответ: $ \cos \frac{9\alpha}{2} + \sin \frac{9\alpha}{2} $.

3) Упростим выражение $ 1 - 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - 8\alpha) $.

Используем одну из формул косинуса двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $, из которой следует $ 1 - 2\cos^2 x = -\cos 2x $.

Применим эту формулу, приняв $ x = \frac{\pi}{4} - 8\alpha $:

$ 1 - 2\cos^2(\frac{\pi}{4} - 8\alpha) = -\cos(2(\frac{\pi}{4} - 8\alpha)) $

Упростим аргумент косинуса:

$ 2(\frac{\pi}{4} - 8\alpha) = \frac{2\pi}{4} - 16\alpha = \frac{\pi}{2} - 16\alpha $

Получаем выражение $ -\cos(\frac{\pi}{2} - 16\alpha) $.

Теперь применим формулу приведения $ \cos(\frac{\pi}{2} - y) = \sin y $:

$ -\cos(\frac{\pi}{2} - 16\alpha) = -\sin 16\alpha $

Ответ: $ -\sin 16\alpha $.

4) Упростим выражение $ \sin \frac{4\alpha}{9}\cos \frac{4\alpha}{9}\cos \frac{8\alpha}{9} $.

Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $, из которой следует $ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x $.

Сначала преобразуем произведение первых двух множителей:

$ \sin \frac{4\alpha}{9} \cos \frac{4\alpha}{9} = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{4\alpha}{9}) = \frac{1}{2} \sin \frac{8\alpha}{9} $

Подставим результат в исходное выражение:

$ (\frac{1}{2} \sin \frac{8\alpha}{9}) \cos \frac{8\alpha}{9} = \frac{1}{2} (\sin \frac{8\alpha}{9} \cos \frac{8\alpha}{9}) $

Применим формулу синуса двойного угла еще раз:

$ \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{8\alpha}{9})) = \frac{1}{4} \sin \frac{16\alpha}{9} $

Ответ: $ \frac{1}{4} \sin \frac{16\alpha}{9} $.

5) Упростим выражение $ \frac{\text{ctg} \frac{\alpha}{5} \text{tg} \frac{\alpha}{10}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{10}} $.

Используем формулу тангенса двойного угла $ \text{tg} 2x = \frac{2 \text{tg} x}{1 - \text{tg}^2 x} $. Из нее следует $ \frac{\text{tg} x}{1 - \text{tg}^2 x} = \frac{1}{2} \text{tg} 2x $.

Рассмотрим часть выражения $ \frac{\text{tg} \frac{\alpha}{10}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{10}} $. Приняв $ x = \frac{\alpha}{10} $, получим:

$ \frac{\text{tg} \frac{\alpha}{10}}{1 - \text{tg}^2 \frac{\alpha}{10}} = \frac{1}{2} \text{tg}(2 \cdot \frac{\alpha}{10}) = \frac{1}{2} \text{tg} \frac{\alpha}{5} $

Подставим это в исходное выражение:

$ \text{ctg} \frac{\alpha}{5} \cdot (\frac{1}{2} \text{tg} \frac{\alpha}{5}) = \frac{1}{2} (\text{ctg} \frac{\alpha}{5} \cdot \text{tg} \frac{\alpha}{5}) $

Поскольку $ \text{ctg} y \cdot \text{tg} y = 1 $, выражение упрощается до:

$ \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

6) Упростим выражение $ \frac{2 \text{ctg} 4\alpha \text{tg} 2\alpha}{1 + \text{tg}^2 2\alpha} $.

Используем формулу синуса двойного угла через тангенс: $ \sin 2x = \frac{2 \text{tg} x}{1 + \text{tg}^2 x} $.

Выделим эту конструкцию в исходном выражении: $ \frac{2 \text{tg} 2\alpha}{1 + \text{tg}^2 2\alpha} $. Приняв $ x = 2\alpha $, получим:

$ \frac{2 \text{tg} 2\alpha}{1 + \text{tg}^2 2\alpha} = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin 4\alpha $

Подставим результат в исходное выражение:

$ \text{ctg} 4\alpha \cdot (\frac{2 \text{tg} 2\alpha}{1 + \text{tg}^2 2\alpha}) = \text{ctg} 4\alpha \cdot \sin 4\alpha $

Используя определение котангенса $ \text{ctg} y = \frac{\cos y}{\sin y} $, получаем:

$ \frac{\cos 4\alpha}{\sin 4\alpha} \cdot \sin 4\alpha = \cos 4\alpha $

Ответ: $ \cos 4\alpha $.

7) Упростим выражение $ \sin^2 5\alpha + \left(\frac{1 - \text{tg}^2 \frac{5\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{5\alpha}{2}}\right)^2 $.

Используем формулу косинуса двойного угла через тангенс: $ \cos 2x = \frac{1 - \text{tg}^2 x}{1 + \text{tg}^2 x} $.

Рассмотрим выражение в скобках. Приняв $ x = \frac{5\alpha}{2} $, получим:

$ \frac{1 - \text{tg}^2 \frac{5\alpha}{2}}{1 + \text{tg}^2 \frac{5\alpha}{2}} = \cos(2 \cdot \frac{5\alpha}{2}) = \cos 5\alpha $

Подставим результат в исходное выражение:

$ \sin^2 5\alpha + (\cos 5\alpha)^2 = \sin^2 5\alpha + \cos^2 5\alpha $

Согласно основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 $:

$ \sin^2 5\alpha + \cos^2 5\alpha = 1 $

Ответ: 1.

206. Представьте в виде произведения выражение:

1) $1 + \cos 6\alpha$;

2) $1 - \cos \frac{\alpha}{4}$;

3) $1 + \sin \frac{\pi}{10}$;

4) $1 - \sin \frac{\alpha}{2}$.

1) Для преобразования выражения $1 + \cos(6\alpha)$ в произведение, воспользуемся формулой понижения степени, которая является следствием формулы косинуса двойного угла: $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.

В данном случае аргумент косинуса равен $6\alpha$. Приравняем его к $2x$ из формулы:

$2x = 6\alpha$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{6\alpha}{2} = 3\alpha$

Теперь подставим значение $x$ в формулу:

$1 + \cos(6\alpha) = 2\cos^2(3\alpha)$

Выражение $2\cos^2(3\alpha)$ является произведением, так как его можно записать как $2 \cdot \cos(3\alpha) \cdot \cos(3\alpha)$.

Ответ: $2\cos^2(3\alpha)$

2) Для преобразования выражения $1 - \cos(\frac{\alpha}{4})$ в произведение, используем другую формулу понижения степени: $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

Приравняем аргумент косинуса $2x$ к нашему значению $\frac{\alpha}{4}$:

$2x = \frac{\alpha}{4}$

Находим $x$:

$x = \frac{\alpha}{4 \cdot 2} = \frac{\alpha}{8}$

Подставляем найденное значение $x$ в формулу:

$1 - \cos(\frac{\alpha}{4}) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{8})$

Ответ: $2\sin^2(\frac{\alpha}{8})$

3) Чтобы представить в виде произведения выражение $1 + \sin(\frac{\pi}{10})$, сначала воспользуемся формулой приведения: $\sin(y) = \cos(\frac{\pi}{2} - y)$.

Применим эту формулу к нашему выражению, где $y = \frac{\pi}{10}$:

$\sin(\frac{\pi}{10}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{10}) = \cos(\frac{5\pi}{10} - \frac{\pi}{10}) = \cos(\frac{4\pi}{10}) = \cos(\frac{2\pi}{5})$

Теперь исходное выражение имеет вид: $1 + \cos(\frac{2\pi}{5})$.

Далее применим уже известную формулу $1 + \cos(2x) = 2\cos^2(x)$.

В нашем случае $2x = \frac{2\pi}{5}$, откуда $x = \frac{\pi}{5}$.

Подставляем $x$ в формулу:

$1 + \cos(\frac{2\pi}{5}) = 2\cos^2(\frac{\pi}{5})$

Ответ: $2\cos^2(\frac{\pi}{5})$

4) Для преобразования выражения $1 - \sin(\frac{\alpha}{2})$ используем тот же подход, что и в предыдущем пункте. Сначала применим формулу приведения $\sin(y) = \cos(\frac{\pi}{2} - y)$.

В нашем случае $y = \frac{\alpha}{2}$, поэтому:

$\sin(\frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2})$

Выражение принимает вид: $1 - \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2})$.

Теперь воспользуемся формулой $1 - \cos(2x) = 2\sin^2(x)$.

Приравняем $2x$ к аргументу косинуса:

$2x = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}$

Найдем $x$:

$x = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4}$

Подставляем $x$ в формулу:

$1 - \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}) = 2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4})$

Ответ: $2\sin^2(\frac{\pi}{4} - \frac{\alpha}{4})$

207. Понизьте степень выражения:

1) $\sin^2 \frac{\alpha}{4};$

2) $\cos^2 5x;$

3) $\sin^2 (3\beta + 5^{\circ});$

4) $\cos^2 \left(\frac{\varphi}{6} - \frac{\pi}{14}\right).$

Для понижения степени тригонометрических выражений используются формулы понижения степени, которые являются следствиями формул косинуса двойного угла:

• $ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $
• $ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $

Применим эти формулы к каждому из данных выражений.

1) Понизить степень выражения $ \sin^2\frac{\alpha}{4} $.
Используем формулу для квадрата синуса: $ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $.
В данном случае, аргумент $ \theta = \frac{\alpha}{4} $.
Удвоенный аргумент будет равен $ 2\theta = 2 \cdot \frac{\alpha}{4} = \frac{\alpha}{2} $.
Подставляя в формулу, получаем:
$ \sin^2\frac{\alpha}{4} = \frac{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})}{2} $.
Ответ: $ \frac{1 - \cos(\frac{\alpha}{2})}{2} $.

2) Понизить степень выражения $ \cos^2 5x $.
Используем формулу для квадрата косинуса: $ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $.
Здесь аргумент $ \theta = 5x $.
Удвоенный аргумент будет равен $ 2\theta = 2 \cdot 5x = 10x $.
Подставляя в формулу, получаем:
$ \cos^2 5x = \frac{1 + \cos(10x)}{2} $.
Ответ: $ \frac{1 + \cos(10x)}{2} $.

3) Понизить степень выражения $ \sin^2(3\beta + 5^{\circ}) $.
Снова используем формулу для квадрата синуса: $ \sin^2\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $.
В этом случае, аргумент $ \theta = 3\beta + 5^{\circ} $.
Удвоенный аргумент равен $ 2\theta = 2 \cdot (3\beta + 5^{\circ}) = 6\beta + 10^{\circ} $.
Подставляем в формулу:
$ \sin^2(3\beta + 5^{\circ}) = \frac{1 - \cos(6\beta + 10^{\circ})}{2} $.
Ответ: $ \frac{1 - \cos(6\beta + 10^{\circ})}{2} $.

4) Понизить степень выражения $ \cos^2(\frac{\phi}{6} - \frac{\pi}{14}) $.
Применяем формулу для квадрата косинуса: $ \cos^2\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $.
Здесь аргумент $ \theta = \frac{\phi}{6} - \frac{\pi}{14} $.
Удвоенный аргумент равен $ 2\theta = 2 \cdot (\frac{\phi}{6} - \frac{\pi}{14}) = \frac{2\phi}{6} - \frac{2\pi}{14} = \frac{\phi}{3} - \frac{\pi}{7} $.
Подставляем в формулу:
$ \cos^2(\frac{\phi}{6} - \frac{\pi}{14}) = \frac{1 + \cos(\frac{\phi}{3} - \frac{\pi}{7})}{2} $.
Ответ: $ \frac{1 + \cos(\frac{\phi}{3} - \frac{\pi}{7})}{2} $.

208. Докажите тождество:

1) $2\sin^2 \frac{\alpha}{2} + \cos \alpha = 1;$

2) $\operatorname{ctg} 2\alpha (1 - \cos 4\alpha) = \sin 4\alpha;$

3) $\frac{1 - \cos 2\alpha - \sin \alpha}{\sin 2\alpha - \cos \alpha} = \operatorname{tg} \alpha.$

1) Докажем тождество $2\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos\alpha = 1$.
Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2x) = 1 - 2\sin^2x$.
Если принять $x = \frac{\alpha}{2}$, то $2x = \alpha$, и формула примет вид: $\cos\alpha = 1 - 2\sin^2\frac{\alpha}{2}$.
Из этой формулы выразим $2\sin^2\frac{\alpha}{2}$:
$2\sin^2\frac{\alpha}{2} = 1 - \cos\alpha$.
Теперь подставим полученное выражение в левую часть исходного тождества:
$2\sin^2\frac{\alpha}{2} + \cos\alpha = (1 - \cos\alpha) + \cos\alpha = 1 - \cos\alpha + \cos\alpha = 1$.
В результате преобразований мы получили, что левая часть тождества равна 1, что соответствует правой части. Таким образом, тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.

2) Докажем тождество $\text{ctg}\,2\alpha(1 - \cos4\alpha) = \sin4\alpha$.
Преобразуем левую часть равенства, используя следующие тригонометрические формулы:
1. Определение котангенса: $\text{ctg}\,x = \frac{\cos x}{\sin x}$.
2. Формула понижения степени (следствие из косинуса двойного угла): $1 - \cos(2x) = 2\sin^2x$.
3. Формула синуса двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$.

Запишем левую часть тождества, используя определение котангенса:
$\text{ctg}\,2\alpha(1 - \cos4\alpha) = \frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} \cdot (1 - \cos4\alpha)$.
Применим формулу понижения степени к выражению в скобках, считая $x=2\alpha$ (тогда $2x=4\alpha$):
$1 - \cos4\alpha = 2\sin^22\alpha$.
Подставим это в наше выражение:
$\frac{\cos2\alpha}{\sin2\alpha} \cdot 2\sin^22\alpha$.
Сократим дробь на $\sin2\alpha$ (при условии $\sin2\alpha \neq 0$):
$\cos2\alpha \cdot 2\sin2\alpha = 2\sin2\alpha\cos2\alpha$.
Теперь воспользуемся формулой синуса двойного угла, считая $x=2\alpha$:
$2\sin2\alpha\cos2\alpha = \sin(2 \cdot 2\alpha) = \sin4\alpha$.
Левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.

3) Докажем тождество $\frac{1 - \cos2\alpha - \sin\alpha}{\sin2\alpha - \cos\alpha} = \text{tg}\,\alpha$.
Преобразуем левую часть равенства. Для этого используем формулы двойного угла:
$\cos2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$
$\sin2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$
Подставим эти выражения в числитель и знаменатель дроби.
Преобразуем числитель:
$1 - \cos2\alpha - \sin\alpha = 1 - (1 - 2\sin^2\alpha) - \sin\alpha = 1 - 1 + 2\sin^2\alpha - \sin\alpha = 2\sin^2\alpha - \sin\alpha$.
Преобразуем знаменатель:
$\sin2\alpha - \cos\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha - \cos\alpha$.
Теперь дробь имеет вид:
$\frac{2\sin^2\alpha - \sin\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha - \cos\alpha}$.
Вынесем общие множители за скобки в числителе ($\sin\alpha$) и в знаменателе ($\cos\alpha$):
$\frac{\sin\alpha(2\sin\alpha - 1)}{\cos\alpha(2\sin\alpha - 1)}$.
Сократим общий множитель $(2\sin\alpha - 1)$ (при условии, что $2\sin\alpha - 1 \neq 0$):
$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$.
По определению тангенса, $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \text{tg}\,\alpha$.
Левая часть тождества равна правой для всех допустимых значений $\alpha$, что и требовалось доказать.
Ответ: Тождество доказано.