Страница 147 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Решите уравнение:

1) $ \sin 7x - \cos 7x = 0; $

2) $ \sqrt{3} \cos 2x + \sin 2x = 0; $

3) $ 3 \cos \frac{2x}{5} + 2 \sin \frac{2x}{5} = 0; $

4) $ 8 \sin^2 \frac{x}{6} + 9 \sin \frac{x}{6} \cos \frac{x}{6} + \cos^2 \frac{x}{6} = 0. $

1) $\sin 7x - \cos 7x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $\cos 7x$ в правую часть:

$\sin 7x = \cos 7x$

Разделим обе части уравнения на $\cos 7x$. Это преобразование является равносильным, так как если бы $\cos 7x = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin 7x = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\frac{\sin 7x}{\cos 7x} = 1$

$\tan 7x = 1$

Решая это простейшее тригонометрическое уравнение, получаем:

$7x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$7x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3} \cos 2x + \sin 2x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перепишем его в виде:

$\sin 2x = -\sqrt{3} \cos 2x$

Разделим обе части на $\cos 2x \neq 0$ (по той же причине, что и в пункте 1):

$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = -\sqrt{3}$

$\tan 2x = -\sqrt{3}$

Решаем уравнение:

$2x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Находим $x$:

$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $3\cos\frac{2x}{5} + 2\sin\frac{2x}{5} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Запишем его как:

$2\sin\frac{2x}{5} = -3\cos\frac{2x}{5}$

Разделим обе части на $\cos\frac{2x}{5} \neq 0$:

$2\tan\frac{2x}{5} = -3$

$\tan\frac{2x}{5} = -\frac{3}{2}$

Решаем уравнение:

$\frac{2x}{5} = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Используя свойство арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получаем:

$\frac{2x}{5} = -\arctan\frac{3}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выражаем $x$:

$x = \frac{5}{2}(-\arctan\frac{3}{2} + \pi n)$

$x = -\frac{5}{2}\arctan\frac{3}{2} + \frac{5\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{5}{2}\arctan\frac{3}{2} + \frac{5\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $8\sin^2\frac{x}{6} + 9\sin\frac{x}{6}\cos\frac{x}{6} + \cos^2\frac{x}{6} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{6}$. Это возможно, так как если $\cos\frac{x}{6} = 0$, то из уравнения следует $8\sin^2\frac{x}{6} = 0$, то есть $\sin\frac{x}{6} = 0$, что невозможно одновременно.

$\frac{8\sin^2\frac{x}{6}}{\cos^2\frac{x}{6}} + \frac{9\sin\frac{x}{6}\cos\frac{x}{6}}{\cos^2\frac{x}{6}} + \frac{\cos^2\frac{x}{6}}{\cos^2\frac{x}{6}} = 0$

$8\tan^2\frac{x}{6} + 9\tan\frac{x}{6} + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan\frac{x}{6}$. Уравнение примет вид:

$8t^2 + 9t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 81 - 32 = 49 = 7^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 8} = \frac{-9 - 7}{16} = \frac{-16}{16} = -1$

$t_2 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 8} = \frac{-9 + 7}{16} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}$

Вернемся к исходной переменной. Получаем два случая:

1) $\tan\frac{x}{6} = -1$

$\frac{x}{6} = \arctan(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = -\frac{6\pi}{4} + 6\pi n = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan\frac{x}{6} = -\frac{1}{8}$

$\frac{x}{6} = \arctan(-\frac{1}{8}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{6} = -\arctan\frac{1}{8} + \pi k$

$x = -6\arctan\frac{1}{8} + 6\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -6\arctan\frac{1}{8} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

252. Решите уравнение:

1) $6\sin^2 \frac{x}{2} - 7\sin x + 8\cos^2 \frac{x}{2} = 0;$

2) $4\cos^2 3x + \sin 6x = 3$

3) $3\cos^2 2x + \sin 4x = 3;$

4) $\frac{\cos x + 2\sin x}{3\sin x - \cos x} = \frac{1}{3};$

5) $1 + \cos 4x - \sin 4x = 0;$

6) $4\sin 5x + 3\cos 5x = 4.$

253. Решите уравнение:

1) $12\cos^2 \frac{x}{2} = 9 - 4\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}$;

2) $\sin 2x - 4(\sin x - \cos x) + 4 = 0$;

3) $\sqrt{13 - 12\operatorname{tg} x} = 2\operatorname{tg} x - 1$;

4) $\sqrt{-\cos 2x} = \sin x$.

1) $12\cos^2\frac{x}{2} = 9 - 4\cos\frac{x}{2}\cos\frac{3x}{2}$

Преобразуем уравнение. Воспользуемся формулой для косинуса тройного угла: $\cos(3\alpha) = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$.

Пусть $y = \frac{x}{2}$. Тогда уравнение примет вид:

$12\cos^2y = 9 - 4\cos y \cos(3y)$

Подставим формулу для $\cos(3y)$:

$12\cos^2y = 9 - 4\cos y (4\cos^3y - 3\cos y)$

$12\cos^2y = 9 - 16\cos^4y + 12\cos^2y$

Сократим $12\cos^2y$ с обеих сторон:

$0 = 9 - 16\cos^4y$

$16\cos^4y = 9$

$\cos^4y = \frac{9}{16}$

Извлечем квадратный корень:

$\cos^2y = \frac{3}{4}$ (так как $\cos^2y$ не может быть отрицательным)

Еще раз извлечем квадратный корень:

$\cos y = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Вернемся к переменной $x$, где $y = \frac{x}{2}$:

$\cos\frac{x}{2} = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$

Чтобы найти $x$, воспользуемся формулой понижения степени $\cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} - 1$.

$\cos x = 2\left(\frac{3}{4}\right) - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

Решим уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$:

$x = \pm\arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 2x - 4(\sin x - \cos x) + 4 = 0$

Введем замену: пусть $t = \sin x - \cos x$.

Возведем обе части в квадрат:

$t^2 = (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2x - 2\sin x \cos x + \cos^2x$

$t^2 = (\sin^2x + \cos^2x) - 2\sin x \cos x$

$t^2 = 1 - \sin 2x$

Отсюда выразим $\sin 2x$:

$\sin 2x = 1 - t^2$

Подставим замену в исходное уравнение:

$(1 - t^2) - 4t + 4 = 0$

$-t^2 - 4t + 5 = 0$

$t^2 + 4t - 5 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни:

$t_1 = 1$, $t_2 = -5$.

Выполним обратную замену:

1. $\sin x - \cos x = 1$

Преобразуем левую часть с помощью введения вспомогательного угла:

$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right) = 1$

$\sqrt{2}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{4} - \cos x \sin\frac{\pi}{4}\right) = 1$

$\sqrt{2}\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = 1$

$\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Отсюда получаем две серии решений:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n \Rightarrow x = \pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$

2. $\sin x - \cos x = -5$

Область значений выражения $\sin x - \cos x$ есть отрезок $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$.

Поскольку $-5$ не принадлежит этому отрезку, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

3) $\sqrt{13 - 12\tg x} = 2\tg x - 1$

Данное иррациональное уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} 2\tg x - 1 \ge 0 \\ 13 - 12\tg x = (2\tg x - 1)^2 \end{cases}$

Из первого неравенства следует $\tg x \ge \frac{1}{2}$.

Решим второе уравнение. Пусть $t = \tg x$.

$13 - 12t = (2t - 1)^2$

$13 - 12t = 4t^2 - 4t + 1$

$4t^2 + 8t - 12 = 0$

Разделим на 4:

$t^2 + 2t - 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения:

$t_1 = 1$, $t_2 = -3$.

Проверим найденные корни на соответствие условию $t \ge \frac{1}{2}$.

$t_1 = 1$. Условие $1 \ge \frac{1}{2}$ выполняется. Это подходящий корень.

$t_2 = -3$. Условие $-3 \ge \frac{1}{2}$ не выполняется. Это посторонний корень.

Таким образом, единственное решение для $t$ это $t = 1$.

Вернемся к переменной $x$:

$\tg x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sqrt{-\cos 2x} = \sin x$

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} \sin x \ge 0 \\ -\cos 2x = (\sin x)^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение. Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2x$.

$-(1 - 2\sin^2x) = \sin^2x$

$-1 + 2\sin^2x = \sin^2x$

$\sin^2x = 1$

$\sin x = 1$ или $\sin x = -1$.

Теперь учтем первое условие системы: $\sin x \ge 0$.

Решение $\sin x = -1$ не удовлетворяет этому условию, поэтому оно является посторонним.

Остается единственное решение $\sin x = 1$.

Проверим также, что подкоренное выражение $-\cos 2x$ неотрицательно. Если $\sin x = 1$, то $\cos 2x = 1 - 2\sin^2x = 1 - 2(1)^2 = -1$. Тогда $-\cos 2x = -(-1) = 1 \ge 0$. Условие выполняется.

Найдем $x$ из уравнения $\sin x = 1$:

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

254. Найдите все корни уравнения $\sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^2 x = 0$, удовлетворяющие неравенству $0 < x < 3$.

Для начала решим данное тригонометрическое уравнение:

$ \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^2 x = 0 $

Вынесем общий множитель $ \cos x $ за скобки:

$ \cos x (\sin x - \sqrt{3} \cos x) = 0 $

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два уравнения:

1) $ \cos x = 0 $

2) $ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 $

Решим каждое уравнение по отдельности.

Решение первого уравнения:

$ \cos x = 0 $

Общее решение этого уравнения: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in Z $.

Решение второго уравнения:

$ \sin x - \sqrt{3} \cos x = 0 $

Это однородное тригонометрическое уравнение. Проверим, может ли $ \cos x $ быть равным нулю. Если $ \cos x = 0 $, то из уравнения следует, что $ \sin x = 0 $. Однако, $ \sin x $ и $ \cos x $ не могут одновременно равняться нулю, так как это противоречит основному тригонометрическому тождеству $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $. Следовательно, $ \cos x \neq 0 $, и мы можем разделить обе части уравнения на $ \cos x $:

$ \frac{\sin x}{\cos x} - \sqrt{3} = 0 $

$ \tan x = \sqrt{3} $

Общее решение этого уравнения: $ x = \frac{\pi}{3} + \pi n $, где $ n \in Z $.

Теперь нам необходимо найти все корни, удовлетворяющие неравенству $ 0 < x < 3 $. Для этого будем подставлять целые значения $ k $ и $ n $ в полученные серии решений.

Для серии $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $:

• При $ k = 0 $, $ x = \frac{\pi}{2} $. Так как $ \pi \approx 3.14 $, то $ x \approx \frac{3.14}{2} = 1.57 $. Неравенство $ 0 < 1.57 < 3 $ выполняется.
• При $ k = 1 $, $ x = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2} \approx 4.71 $. Это значение не входит в интервал $ (0, 3) $.
• При $ k = -1 $, $ x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2} \approx -1.57 $. Это значение также не входит в интервал $ (0, 3) $.

Для серии $ x = \frac{\pi}{3} + \pi n $:

• При $ n = 0 $, $ x = \frac{\pi}{3} $. Так как $ \pi \approx 3.14 $, то $ x \approx \frac{3.14}{3} \approx 1.05 $. Неравенство $ 0 < 1.05 < 3 $ выполняется.
• При $ n = 1 $, $ x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} \approx 4.19 $. Это значение не входит в интервал $ (0, 3) $.
• При $ n = -1 $, $ x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3} \approx -2.09 $. Это значение также не входит в интервал $ (0, 3) $.

Таким образом, в заданный интервал $ (0, 3) $ попадают два корня: $ \frac{\pi}{3} $ и $ \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2} $

255. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения $\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}=\frac{1}{\cos \frac{x}{2}}$.

Исходное уравнение:$ \cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} = \frac{1}{\cos\frac{x}{2}} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:
$ \cos\frac{x}{2} \neq 0 $
$ \frac{x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $
$ x \neq \pi + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $

Умножим обе части уравнения на $ \cos\frac{x}{2} $, что допустимо в рамках ОДЗ:
$ \cos^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 1 $

Используем основное тригонометрическое тождество $ \cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha $:
$ (1 - \sin^2\frac{x}{2}) + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 1 $

Перенесем 1 в левую часть и упростим:
$ -\sin^2\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 0 $

Вынесем $ \sin\frac{x}{2} $ за скобки:
$ \sin\frac{x}{2} \left( \cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} \right) = 0 $

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая.

1) $ \sin\frac{x}{2} = 0 $
$ \frac{x}{2} = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
$ x = 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $
Эти корни удовлетворяют ОДЗ, так как при $ x = 2\pi n $, $ \cos\frac{x}{2} = \cos(\pi n) = \pm 1 \neq 0 $.
Найдем наибольший отрицательный корень из этой серии. При $ n = -1 $, $ x = -2\pi $. При $ n = -2 $, $ x = -4\pi $ и так далее. Наибольший отрицательный корень в этом случае равен $ -2\pi $.

2) $ \cos\frac{x}{2} - \sin\frac{x}{2} = 0 $
$ \cos\frac{x}{2} = \sin\frac{x}{2} $
Разделим обе части на $ \cos\frac{x}{2} $ (мы знаем, что он не равен нулю):
$ \tan\frac{x}{2} = 1 $
$ \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $
$ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $
Эти корни также удовлетворяют ОДЗ.
Найдем наибольший отрицательный корень из этой серии. При $ m = -1 $, $ x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2} $. При $ m = -2 $, $ x = \frac{\pi}{2} - 4\pi = -\frac{7\pi}{2} $ и так далее. Наибольший отрицательный корень в этом случае равен $ -\frac{3\pi}{2} $.

Теперь необходимо сравнить полученные наибольшие отрицательные корни из двух серий: $ -2\pi $ и $ -\frac{3\pi}{2} $.
Так как $ -2\pi = -\frac{4\pi}{2} $, а $ -\frac{3\pi}{2} > -\frac{4\pi}{2} $, то наибольшим отрицательным корнем исходного уравнения является $ -\frac{3\pi}{2} $.

Ответ: $ -\frac{3\pi}{2} $.

256. При каких значениях $a$ имеет корни уравнение $\sin^2 x - (3a+1)\sin x + 6a - 2 = 0?$}

Данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно `\sin x`. Выполним замену переменной. Пусть `t = \sin x`.

Поскольку область значений функции синуса есть отрезок `[-1, 1]`, на новую переменную `t` накладывается ограничение: `-1 \le t \le 1`.

В результате замены исходное уравнение приобретает вид:

`t^2 - (3a + 1)t + 6a - 2 = 0`

Для того чтобы исходное уравнение имело корни, необходимо и достаточно, чтобы это квадратное уравнение относительно `t` имело хотя бы один корень, принадлежащий отрезку `[-1, 1]`.

Решим полученное квадратное уравнение. Для начала найдем его дискриминант `D`:

`D = (-(3a + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a - 2) = (3a + 1)^2 - 4(6a - 2)`

`D = 9a^2 + 6a + 1 - 24a + 8 = 9a^2 - 18a + 9`

`D = 9(a^2 - 2a + 1) = 9(a - 1)^2`

Так как `D = 9(a - 1)^2 \ge 0` при любом действительном `a`, квадратное уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем эти корни:

`t_{1,2} = \frac{(3a + 1) \pm \sqrt{9(a-1)^2}}{2} = \frac{3a + 1 \pm 3|a-1|}{2}`

Независимо от того, больше `a` единицы или меньше, раскрытие модуля `|a-1|` дает один и тот же набор корней. Проверим это:

• Если `a \ge 1`, то `|a-1| = a-1`.
  `t_1 = \frac{3a + 1 + 3(a-1)}{2} = \frac{6a-2}{2} = 3a-1`
  `t_2 = \frac{3a + 1 - 3(a-1)}{2} = \frac{4}{2} = 2`
• Если `a < 1`, то `|a-1| = -(a-1) = 1-a`.
  `t_1 = \frac{3a + 1 + 3(1-a)}{2} = \frac{4}{2} = 2`
  `t_2 = \frac{3a + 1 - 3(1-a)}{2} = \frac{6a-2}{2} = 3a-1`

Таким образом, корнями квадратного уравнения для `t` являются `t_1 = 2` и `t_2 = 3a - 1`.

Теперь необходимо проверить, при каких значениях `a` хотя бы один из этих корней попадает в отрезок `[-1, 1]`.

Корень `t_1 = 2` не принадлежит отрезку `[-1, 1]`, следовательно, уравнение `\sin x = 2` решений не имеет.

Значит, для существования корней исходного уравнения необходимо, чтобы второй корень `t_2 = 3a - 1` принадлежал отрезку `[-1, 1]`. Это приводит к следующему двойному неравенству:

`-1 \le 3a - 1 \le 1`

Прибавим ко всем частям неравенства `1`:

`0 \le 3a \le 2`

Разделим все части неравенства на `3`:

`0 \le a \le \frac{2}{3}`

Таким образом, исходное уравнение имеет корни только при `a \in [0, \frac{2}{3}]`.

Ответ: `a \in [0, \frac{2}{3}]`.