Страница 151 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Выясните, является ли непрерывной функция $f$ в точке $x_0:$

1) $f(x) = \sqrt{x+2}, x_0 = 3;$

2) $f(x) = \frac{x-10}{|x-10|}, x_0 = -3;$

3) $f(x) = \begin{cases} 7 - 2x, & \text{если } x < 3, \\ x^2 - 8, & \text{если } x \ge 3, \end{cases} x_0 = 3;$

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{4x+24}{x+6}, & \text{если } x \ne -6, \\ 4, & \text{если } x = -6, \end{cases} x_0 = -6.$

Для того чтобы выяснить, является ли функция $f(x)$ непрерывной в точке $x_0$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$, то есть существует значение $f(x_0)$.
2. Существует предел функции $\lim_{x \to x_0} f(x)$. Для этого должны существовать и быть равны односторонние пределы: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$.
3. Значение функции в точке $x_0$ равно пределу функции в этой точке: $f(x_0) = \lim_{x \to x_0} f(x)$.

1) $f(x) = \sqrt{x+2}$, $x_0 = 3$

Проверим условия непрерывности для данной функции в точке $x_0 = 3$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = \sqrt{3+2} = \sqrt{5}$.
Функция определена в точке $x_0 = 3$.

2. Найдем предел функции при $x \to 3$:
$\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \sqrt{x+2} = \sqrt{3+2} = \sqrt{5}$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = \sqrt{5}$ и $\lim_{x \to 3} f(x) = \sqrt{5}$.
Так как $f(3) = \lim_{x \to 3} f(x)$, все три условия непрерывности выполняются.

Ответ: функция непрерывна в точке $x_0 = 3$.

2) $f(x) = \frac{x-10}{|x-10|}$, $x_0 = -3$

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = -3$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -3$:
$f(-3) = \frac{-3-10}{|-3-10|} = \frac{-13}{|-13|} = \frac{-13}{13} = -1$.
Функция определена в точке $x_0 = -3$.

2. Найдем предел функции при $x \to -3$.
В окрестности точки $x_0 = -3$ выражение под модулем $x-10$ является отрицательным. Следовательно, $|x-10| = -(x-10)$.
$\lim_{x \to -3} f(x) = \lim_{x \to -3} \frac{x-10}{-(x-10)} = \lim_{x \to -3} (-1) = -1$.
Предел существует.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = -3$:
$f(-3) = -1$ и $\lim_{x \to -3} f(x) = -1$.
Так как $f(-3) = \lim_{x \to -3} f(x)$, все условия непрерывности выполняются.

Ответ: функция непрерывна в точке $x_0 = -3$.

3) $f(x) = \begin{cases} 7 - 2x, & \text{если } x < 3 \\ x^2 - 8, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$, $x_0 = 3$

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = 3$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$.
Так как $x_0 = 3$ удовлетворяет условию $x \ge 3$, используем вторую формулу:
$f(3) = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1$.
Функция определена в точке $x_0 = 3$.

2. Так как функция задана по-разному слева и справа от точки 3, найдем односторонние пределы.
Левый предел (при $x \to 3^-$, т.е. $x<3$):
$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} (7 - 2x) = 7 - 2 \cdot 3 = 7 - 6 = 1$.
Правый предел (при $x \to 3^+$, т.е. $x>3$):
$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (x^2 - 8) = 3^2 - 8 = 9 - 8 = 1$.
Поскольку левый и правый пределы равны, общий предел существует и равен 1: $\lim_{x \to 3} f(x) = 1$.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = 3$:
$f(3) = 1$ и $\lim_{x \to 3} f(x) = 1$.
Так как $f(3) = \lim_{x \to 3} f(x)$, все условия непрерывности выполняются.

Ответ: функция непрерывна в точке $x_0 = 3$.

4) $f(x) = \begin{cases} \frac{4x+24}{x+6}, & \text{если } x \ne -6 \\ 4, & \text{если } x = -6 \end{cases}$, $x_0 = -6$

Проверим условия непрерывности в точке $x_0 = -6$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -6$.
Согласно определению функции, при $x = -6$ имеем $f(-6) = 4$.
Функция определена в точке $x_0 = -6$.

2. Найдем предел функции при $x \to -6$.
Для нахождения предела мы рассматриваем значения $x$, близкие к -6, но не равные -6 ($x \ne -6$), поэтому используем первую формулу:
$\lim_{x \to -6} f(x) = \lim_{x \to -6} \frac{4x+24}{x+6}$.
При подстановке $x = -6$ получаем неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Упростим выражение, вынеся общий множитель в числителе:
$\lim_{x \to -6} \frac{4(x+6)}{x+6} = \lim_{x \to -6} 4 = 4$.
Предел существует и равен 4.

3. Сравним значение функции и ее предел в точке $x_0 = -6$:
$f(-6) = 4$ и $\lim_{x \to -6} f(x) = 4$.
Так как $f(-6) = \lim_{x \to -6} f(x)$, все условия непрерывности выполняются.

Ответ: функция непрерывна в точке $x_0 = -6$.

269. Найдите приращение функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = 4x + 5$, $x_0 = -3$, $\Delta x = 0,2;$

2) $f(x) = 3 - 2x^2$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,3;$

3) $f(x) = \text{tg } x$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$, $\Delta x = \frac{\pi}{12}$.

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ — это разность между значением функции в точке $x_0 + \Delta x$ и значением функции в точке $x_0$. Оно вычисляется по формуле: $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

1) Дано: $f(x) = 4x + 5$, $x_0 = -3$, $\Delta x = 0,2$.

1. Найдем значение аргумента в новой точке:

$x_0 + \Delta x = -3 + 0,2 = -2,8$.

2. Найдем значение функции в начальной точке $x_0$:

$f(x_0) = f(-3) = 4 \cdot (-3) + 5 = -12 + 5 = -7$.

3. Найдем значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = f(-2,8) = 4 \cdot (-2,8) + 5 = -11,2 + 5 = -6,2$.

4. Вычислим приращение функции:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = -6,2 - (-7) = -6,2 + 7 = 0,8$.

Ответ: $0,8$.

2) Дано: $f(x) = 3 - 2x^2$, $x_0 = 2$, $\Delta x = 0,3$.

1. Найдем значение аргумента в новой точке:

$x_0 + \Delta x = 2 + 0,3 = 2,3$.

2. Найдем значение функции в начальной точке $x_0$:

$f(x_0) = f(2) = 3 - 2 \cdot 2^2 = 3 - 2 \cdot 4 = 3 - 8 = -5$.

3. Найдем значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = f(2,3) = 3 - 2 \cdot (2,3)^2 = 3 - 2 \cdot 5,29 = 3 - 10,58 = -7,58$.

4. Вычислим приращение функции:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = -7,58 - (-5) = -7,58 + 5 = -2,58$.

Ответ: $-2,58$.

3) Дано: $f(x) = \operatorname{tg} x$, $x_0 = \frac{\pi}{6}$, $\Delta x = \frac{\pi}{12}$.

1. Найдем значение аргумента в новой точке:

$x_0 + \Delta x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{12} + \frac{\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4}$.

2. Найдем значение функции в начальной точке $x_0$:

$f(x_0) = f(\frac{\pi}{6}) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3. Найдем значение функции в новой точке $x_0 + \Delta x$:

$f(x_0 + \Delta x) = f(\frac{\pi}{4}) = \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$.

4. Вычислим приращение функции:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

270. Для функции $f(x) = 2 - 4x$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Дана функция $f(x) = 2 - 4x$ и точка $x_0$.

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ определяется как разность значений функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$:

$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$

Найдем значения функции в этих точках для заданной функции $f(x) = 2 - 4x$:

$f(x_0) = 2 - 4x_0$

$f(x_0 + \Delta x) = 2 - 4(x_0 + \Delta x) = 2 - 4x_0 - 4\Delta x$

Теперь найдем приращение функции, подставив найденные значения:

$\Delta f = (2 - 4x_0 - 4\Delta x) - (2 - 4x_0) = 2 - 4x_0 - 4\Delta x - 2 + 4x_0 = -4\Delta x$

Отношение приращения функции к приращению аргумента равно:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-4\Delta x}{\Delta x} = -4$

Ответ: $-4$

Теперь найдем предел этого отношения при $\Delta x$, стремящемся к нулю. Это по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Используя результат, полученный в предыдущем пункте, имеем:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (-4)$

Предел константы равен самой этой константе, поэтому:

$\lim_{\Delta x \to 0} (-4) = -4$

Ответ: $-4$

271. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 2t^2 + 4$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t_0 = 5 \text{ с}$.

По определению, мгновенная скорость материальной точки $v(t)$ является первой производной от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$.

Закон движения материальной точки задан функцией: $s(t) = 2t^2 + 4$

Чтобы найти функцию скорости $v(t)$, необходимо найти производную $s'(t)$:

$v(t) = s'(t) = (2t^2 + 4)'$

Применяя правила дифференцирования (производная степенной функции $(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$ и производная константы $(C)' = 0$):

$v(t) = (2t^2)' + (4)' = 2 \cdot 2t^{2-1} + 0 = 4t$

Таким образом, функция мгновенной скорости имеет вид $v(t) = 4t$.

Теперь найдем значение мгновенной скорости в момент времени $t_0 = 5$ с, подставив это значение в найденную функцию:

$v(5) = 4 \cdot 5 = 20$

Поскольку перемещение измеряется в метрах, а время — в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: 20 м/с

272. Найдите угловой коэффициент:

1) секущей графика функции $y = x^2 - 1$, проходящей через точки графика с абсциссами $x_0 = 1$ и $x_1 = 1,4$;

2) касательной к графику функции $y = x^2 - 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1) Угловой коэффициент секущей, проходящей через две точки графика функции $(x_0, y_0)$ и $(x_1, y_1)$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$

Дана функция $y = f(x) = x^2 - 1$ и абсциссы точек $x_0 = 1$ и $x_1 = 1,4$.

Сначала найдем соответствующие ординаты (значения функции) для этих точек:

При $x_0 = 1$:

$y_0 = f(1) = 1^2 - 1 = 1 - 1 = 0$

При $x_1 = 1,4$:

$y_1 = f(1,4) = (1,4)^2 - 1 = 1,96 - 1 = 0,96$

Таким образом, секущая проходит через точки с координатами $(1; 0)$ и $(1,4; 0,96)$.

Теперь подставим найденные значения в формулу углового коэффициента:

$k = \frac{0,96 - 0}{1,4 - 1} = \frac{0,96}{0,4} = \frac{9,6}{4} = 2,4$

Ответ: 2,4

2) Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Дана функция $y = f(x) = x^2 - 1$.

Найдем её производную:

$f'(x) = (x^2 - 1)' = (x^2)' - (1)' = 2x - 0 = 2x$

Теперь вычислим значение производной в точке с абсциссой $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$

Следовательно, угловой коэффициент касательной к графику функции $y = x^2 - 1$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$ равен 2.

Ответ: 2