Страница 155 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

290. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x-3}{x^2-3}$ в точке его пересечения с осью абсцисс.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для того чтобы составить уравнение, нам нужно найти:

1. Абсциссу точки касания $x_0$.
2. Значение функции в этой точке $f(x_0)$.
3. Производную функции $f'(x)$.
4. Значение производной в точке касания $f'(x_0)$.

1. Нахождение точки касания

По условию, касательная проводится в точке пересечения графика функции с осью абсцисс. В точке пересечения с осью абсцисс ордината (значение функции) равна нулю: $f(x) = 0$.

Найдем абсциссу этой точки, решив уравнение:

$\frac{x-3}{x^2-3} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Приравняем числитель к нулю:

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

Проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при этом значении $x$:

$3^2 - 3 = 9 - 3 = 6 \neq 0$

Следовательно, абсцисса точки касания $x_0 = 3$. Значение функции в этой точке $f(x_0) = f(3) = 0$. Таким образом, точка касания — $(3; 0)$.

2. Нахождение производной функции

Найдем производную функции $f(x) = \frac{x-3}{x^2-3}$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x - 3$ и $v(x) = x^2 - 3$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 2x$.

$f'(x) = \frac{(x-3)'(x^2-3) - (x-3)(x^2-3)'}{(x^2-3)^2}$

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2-3) - (x-3) \cdot 2x}{(x^2-3)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 - 3 - (2x^2 - 6x)}{(x^2-3)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 - 3 - 2x^2 + 6x}{(x^2-3)^2}$

$f'(x) = \frac{-x^2 + 6x - 3}{(x^2-3)^2}$

3. Нахождение углового коэффициента касательной

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания $x_0 = 3$.

$k = f'(3) = \frac{-(3)^2 + 6(3) - 3}{(3^2-3)^2} = \frac{-9 + 18 - 3}{(9-3)^2} = \frac{6}{6^2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

4. Составление уравнения касательной

Теперь подставим известные значения $x_0 = 3$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = \frac{1}{6}$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$y = 0 + \frac{1}{6}(x - 3)$

$y = \frac{1}{6}x - \frac{3}{6}$

$y = \frac{1}{6}x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{6}x - \frac{1}{2}$.

291. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции $f(x) = x^4 - 6x^2 - 5$.

Горизонтальная касательная — это прямая, параллельная оси абсцисс, ее угловой коэффициент (тангенс угла наклона) равен нулю. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке. Следовательно, чтобы найти уравнения горизонтальных касательных, нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю.

1. Найдем производную функции $f(x) = x^4 - 6x^2 - 5$.

Используя правила дифференцирования, получаем:

$f'(x) = (x^4)' - (6x^2)' - (5)' = 4x^3 - 12x$.

2. Приравняем производную к нулю и найдем абсциссы точек, в которых касательные горизонтальны.

$f'(x) = 0$

$4x^3 - 12x = 0$

Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:

$4x(x^2 - 3) = 0$

Это уравнение распадается на два:

$4x = 0 \implies x_1 = 0$

$x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x_2 = \sqrt{3}, x_3 = -\sqrt{3}$

Мы нашли три точки, в которых касательная к графику функции горизонтальна.

3. Найдем ординаты этих точек, подставив найденные значения $x$ в исходную функцию $f(x) = x^4 - 6x^2 - 5$. Уравнение горизонтальной касательной имеет вид $y = y_0$, где $y_0$ - это найденная ордината.

При $x_1 = 0$:

$y_1 = f(0) = 0^4 - 6(0)^2 - 5 = -5$.

Следовательно, уравнение первой горизонтальной касательной: $y = -5$.

При $x_2 = \sqrt{3}$:

$y_2 = f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 - 6(\sqrt{3})^2 - 5 = 9 - 6 \cdot 3 - 5 = 9 - 18 - 5 = -14$.

При $x_3 = -\sqrt{3}$:

$y_3 = f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^4 - 6(-\sqrt{3})^2 - 5 = 9 - 6 \cdot 3 - 5 = 9 - 18 - 5 = -14$.

В точках с абсциссами $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$ ординаты одинаковы, значит, это одна и та же касательная. Уравнение второй горизонтальной касательной: $y = -14$.

Ответ: $y = -5$, $y = -14$.

292. Найдите такую точку графика функции $f(x) = x^3 - 13x - 5$, что проведённая в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$. С другой стороны, угловой коэффициент равен тангенсу угла, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс, то есть $k = \tan(\alpha)$. Таким образом, для нахождения абсциссы искомой точки $x_0$ необходимо решить уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

1. Найдем производную функции $f(x) = x^3 - 13x - 5$:

$f'(x) = (x^3 - 13x - 5)' = 3x^2 - 13$

2. Вычислим значение тангенса для заданного угла $\alpha = \frac{3\pi}{4}$:

$\tan(\frac{3\pi}{4}) = \tan(\pi - \frac{\pi}{4}) = -\tan(\frac{\pi}{4}) = -1$

3. Теперь составим и решим уравнение, приравняв производную к значению тангенса:

$f'(x) = -1$

$3x^2 - 13 = -1$

$3x^2 = 12$

$x^2 = 4$

Отсюда получаем два возможных значения для абсциссы точки касания: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

4. Найдем соответствующие ординаты (значения функции) для каждого значения $x$:

Если $x_1 = 2$, то:

$y_1 = f(2) = 2^3 - 13 \cdot 2 - 5 = 8 - 26 - 5 = -23$

Таким образом, одна из искомых точек — $(2, -23)$.

Если $x_2 = -2$, то:

$y_2 = f(-2) = (-2)^3 - 13 \cdot (-2) - 5 = -8 + 26 - 5 = 13$

Таким образом, вторая искомая точка — $(-2, 13)$.

Задаче удовлетворяют две точки.

Ответ: $(2, -23)$ и $(-2, 13)$.

293. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x)=x^2+3x-5$, которая параллельна прямой $y=7x-2$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Угловой коэффициент $k$ этой касательной равен значению производной в точке касания, то есть $k = f'(x_0)$.

По условию задачи, искомая касательная должна быть параллельна прямой $y = 7x - 2$. Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y = 7x - 2$ равен 7. Следовательно, угловой коэффициент касательной также должен быть равен 7:

$k = f'(x_0) = 7$.

Сначала найдем производную функции $f(x) = x^2 + 3x - 5$:

$f'(x) = (x^2 + 3x - 5)' = (x^2)' + (3x)' - (5)' = 2x + 3$.

Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, приравняв значение производной к 7:

$f'(x_0) = 2x_0 + 3 = 7$

$2x_0 = 7 - 3$

$2x_0 = 4$

$x_0 = 2$.

Далее найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в исходную функцию $f(x)$:

$y_0 = f(2) = 2^2 + 3 \cdot 2 - 5 = 4 + 6 - 5 = 5$.

Таким образом, точка касания — это точка с координатами $(2; 5)$.

Теперь, зная точку касания $(x_0, y_0) = (2, 5)$ и угловой коэффициент $k=7$, мы можем составить уравнение касательной. Воспользуемся уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через заданную точку, $y - y_0 = k(x - x_0)$:

$y - 5 = 7(x - 2)$

$y - 5 = 7x - 14$

$y = 7x - 14 + 5$

$y = 7x - 9$.

Ответ: $y = 7x - 9$.

294. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x-2}{3-x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$. Существуют ли прямые, параллельные найденной касательной, которые также являются касательными к графику данной функции?

Найдём уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x-2}{3-x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ задается формулой: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = \frac{2-2}{3-2} = \frac{0}{1} = 0$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(2, 0)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{x-2}{3-x}\right)' = \frac{(x-2)'(3-x) - (x-2)(3-x)'}{(3-x)^2} = \frac{1 \cdot (3-x) - (x-2) \cdot (-1)}{(3-x)^2} = \frac{3-x+x-2}{(3-x)^2} = \frac{1}{(3-x)^2}$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$. Это значение является угловым коэффициентом $k$ касательной:
$k = f'(2) = \frac{1}{(3-2)^2} = \frac{1}{1^2} = 1$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = 2$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 1$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = 0 + 1 \cdot (x - 2)$
$y = x - 2$.

Ответ: Уравнение касательной: $y = x - 2$.

Выясним, существуют ли прямые, параллельные найденной касательной, которые также являются касательными к графику данной функции.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент найденной касательной равен $k=1$.
Угловой коэффициент касательной к графику функции в любой точке $x$ равен значению производной $f'(x)$ в этой точке.

Чтобы найти другие касательные, параллельные данной, необходимо найти все значения $x$, для которых $f'(x) = 1$:
$\frac{1}{(3-x)^2} = 1$

Решим это уравнение:
$(3-x)^2 = 1$
Это уравнение имеет два решения:
1) $3 - x = 1 \implies x = 2$. Это абсцисса исходной точки касания.
2) $3 - x = -1 \implies x = 4$.

Поскольку существует еще одно значение $x=4$ (отличное от $x=2$), при котором угловой коэффициент касательной равен 1, то существует еще одна касательная, параллельная найденной.
Точка $x=4$ принадлежит области определения функции ($x \neq 3$).

Ответ: Да, существует.

295. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = x^3 - x^2 + 4x - 5$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, образованного осями координат и касательной, нам необходимо сначала найти уравнение этой касательной.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Нам дана функция $f(x) = x^3 - x^2 + 4x - 5$ и точка касания с абсциссой $x_0 = 1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(1) = 1^3 - 1^2 + 4(1) - 5 = 1 - 1 + 4 - 5 = -1$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(1, -1)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - x^2 + 4x - 5)' = 3x^2 - 2x + 4$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$ для нахождения углового коэффициента касательной:
$f'(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 4 = 3 - 2 + 4 = 5$.

4. Подставим найденные значения $f(1) = -1$ и $f'(1) = 5$ в уравнение касательной:
$y = -1 + 5(x - 1)$
$y = -1 + 5x - 5$
$y = 5x - 6$.
Это и есть уравнение искомой касательной.

Теперь найдем точки пересечения касательной $y = 5x - 6$ с осями координат.
- Точка пересечения с осью ординат (Oy) находится при $x=0$:
$y = 5(0) - 6 = -6$.
Координаты точки пересечения с Oy: $(0, -6)$.
- Точка пересечения с осью абсцисс (Ox) находится при $y=0$:
$0 = 5x - 6$
$5x = 6$
$x = \frac{6}{5} = 1.2$.
Координаты точки пересечения с Ox: $(\frac{6}{5}, 0)$.

Треугольник, образованный касательной и осями координат, является прямоугольным. Его вершины находятся в точках $(0, 0)$, $(\frac{6}{5}, 0)$ и $(0, -6)$. Длины его катетов равны абсолютным значениям координат точек пересечения с осями:
Длина катета на оси Ox: $a = |\frac{6}{5}| = \frac{6}{5}$.
Длина катета на оси Oy: $b = |-6| = 6$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} \cdot 6 = \frac{36}{10} = 3.6$.

Ответ: 3.6

296. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^3 - 9x;$

2) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 7;$

3) $f(x) = 0,2x^5 - \frac{11}{3}x^3 + 18x + 1.$

1) $f(x) = x^3 - 9x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную. Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции:

$f'(x) = (x^3 - 9x)' = 3x^2 - 9$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 9 = 0$

$3(x^2 - 3) = 0$

$x^2 = 3$

$x_1 = -\sqrt{3}$, $x_2 = \sqrt{3}$.

Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}; +\infty)$.

Определим знак производной $f'(x)$ на каждом из этих интервалов. Графиком производной $f'(x) = 3x^2 - 9$ является парабола с ветвями вверх.

• На интервале $(-\infty; -\sqrt{3})$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
• На интервале $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
• На интервале $(\sqrt{3}; +\infty)$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

Поскольку функция непрерывна в критических точках, их можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; +\infty)$, убывает на промежутке $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

2) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 7$

Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 7)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 3 \cdot 3x^2 + 4 \cdot 2x = x^3 - 9x^2 + 8x$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$x^3 - 9x^2 + 8x = 0$

$x(x^2 - 9x + 8) = 0$

Решая квадратное уравнение $x^2 - 9x + 8 = 0$, находим корни $x=1$ и $x=8$.

Таким образом, критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 8$.

Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 8)$ и $(8; +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале методом интервалов для выражения $f'(x)=x(x-1)(x-8)$:

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$, $f'(-1) = (-1)(-2)(-9) = -18 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; 1)$, например $x=0.5$, $f'(0.5) = 0.5(-0.5)(-7.5) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1; 8)$, например $x=2$, $f'(2) = 2(1)(-6) = -12 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (8; +\infty)$, например $x=10$, $f'(10) = 10(9)(2) = 180 > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0; 1]$ и $[8; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; 8]$.

3) $f(x) = 0,2x^5 - \frac{11}{3}x^3 + 18x + 1$

Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную функции:

$f'(x) = (0,2x^5 - \frac{11}{3}x^3 + 18x + 1)' = 5 \cdot 0,2x^4 - 3 \cdot \frac{11}{3}x^2 + 18 = x^4 - 11x^2 + 18$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$x^4 - 11x^2 + 18 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$:

$y^2 - 11y + 18 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения $y_1=2$ и $y_2=9$. Оба корня положительны.

Вернемся к переменной $x$:

$x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

$x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = -\sqrt{2}$, $x_3 = \sqrt{2}$, $x_4 = 3$.

Эти точки делят числовую ось на пять интервалов. Определим знак производной $f'(x) = (x^2-2)(x^2-9)$ на каждом интервале:

• При $x \in (-\infty; -3)$, $x^2>9$, тогда $x^2-2>0$ и $x^2-9>0$, значит $f'(x)>0$, функция возрастает.
• При $x \in (-3; -\sqrt{2})$, $2<x^2<9$, тогда $x^2-2>0$ и $x^2-9<0$, значит $f'(x)<0$, функция убывает.
• При $x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})$, $0 \le x^2 < 2$, тогда $x^2-2<0$ и $x^2-9<0$, значит $f'(x)>0$, функция возрастает.
• При $x \in (\sqrt{2}; 3)$, $2<x^2<9$, тогда $x^2-2>0$ и $x^2-9<0$, значит $f'(x)<0$, функция убывает.
• При $x \in (3; +\infty)$, $x^2>9$, тогда $x^2-2>0$ и $x^2-9>0$, значит $f'(x)>0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$, $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутках $[-3; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; 3]$.

297. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \frac{4x - 3}{x + 1};$

2) $f(x) = x + \frac{2}{x};$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}.$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = \frac{4x - 3}{x + 1}$ необходимо найти ее производную и определить знаки производной.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Область определения: $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(4x - 3)'(x + 1) - (4x - 3)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{4(x + 1) - (4x - 3) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{4x + 4 - 4x + 3}{(x + 1)^2} = \frac{7}{(x + 1)^2}$.

Чтобы определить промежутки монотонности, нужно проанализировать знак производной. Числитель производной равен 7 (положительное число), а знаменатель $(x + 1)^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения (т.е. при $x \neq -1$).

Таким образом, $f'(x) > 0$ на всей области определения функции. Это означает, что функция возрастает на каждом из промежутков, составляющих ее область определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$; промежутков убывания нет.

2) Найдем промежутки возрастания и убывания для функции $f(x) = x + \frac{2}{x}$.

Область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x + 2x^{-1})' = 1 - 2x^{-2} = 1 - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 2}{x^2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{x^2 - 2}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$.

Производная не определена в точке $x=0$, которая также является точкой разрыва для исходной функции. Отметим на числовой прямой точки $x = -\sqrt{2}$, $x = 0$ и $x = \sqrt{2}$ и определим знак производной на полученных промежутках.

Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2 - 2$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен (при $x \neq 0$). График $y=x^2-2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а корни равны $\pm\sqrt{2}$.
- На промежутке $(-\infty, -\sqrt{2})$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На промежутке $(-\sqrt{2}, 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На промежутке $(0, \sqrt{2})$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На промежутке $(\sqrt{2}, +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Объединяя результаты и включая концы интервалов, где функция непрерывна, получаем промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}, +\infty)$; убывает на промежутках $[-\sqrt{2}, 0)$ и $(0, \sqrt{2}]$.

3) Найдем промежутки возрастания и убывания для функции $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$.

Область определения функции: $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Область определения: $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{(x^2 - 3x)'(x + 1) - (x^2 - 3x)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{(2x - 3)(x + 1) - (x^2 - 3x) \cdot 1}{(x + 1)^2}$.

$f'(x) = \frac{2x^2 + 2x - 3x - 3 - x^2 + 3x}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $(x+3)(x-1)=0$, откуда $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Производная не определена в точке $x = -1$, которая является точкой разрыва функции. Отметим на числовой прямой точки $x = -3$, $x = -1$ и $x = 1$ и определим знак производной на полученных промежутках.

Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2 + 2x - 3$, так как знаменатель $(x + 1)^2$ всегда положителен (при $x \neq -1$). График $y=x^2+2x-3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а корни равны -3 и 1.
- На промежутке $(-\infty, -3)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На промежутке $(-3, -1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На промежутке $(-1, 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На промежутке $(1, +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Объединяя результаты и включая концы интервалов, где функция непрерывна, получаем промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[1, +\infty)$; убывает на промежутках $[-3, -1)$ и $(-1, 1]$.