Номер 296, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

296. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^3 - 9x;$

2) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 7;$

3) $f(x) = 0,2x^5 - \frac{11}{3}x^3 + 18x + 1.$

1) $f(x) = x^3 - 9x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции найдем ее производную. Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Производная функции:

$f'(x) = (x^3 - 9x)' = 3x^2 - 9$.

Далее найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 9 = 0$

$3(x^2 - 3) = 0$

$x^2 = 3$

$x_1 = -\sqrt{3}$, $x_2 = \sqrt{3}$.

Критические точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{3})$, $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$ и $(\sqrt{3}; +\infty)$.

Определим знак производной $f'(x)$ на каждом из этих интервалов. Графиком производной $f'(x) = 3x^2 - 9$ является парабола с ветвями вверх.

• На интервале $(-\infty; -\sqrt{3})$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.
• На интервале $(-\sqrt{3}; \sqrt{3})$, $f'(x) < 0$, следовательно, функция убывает.
• На интервале $(\sqrt{3}; +\infty)$, $f'(x) > 0$, следовательно, функция возрастает.

Поскольку функция непрерывна в критических точках, их можно включить в промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}; +\infty)$, убывает на промежутке $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$.

2) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 7$

Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 7)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 3 \cdot 3x^2 + 4 \cdot 2x = x^3 - 9x^2 + 8x$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$x^3 - 9x^2 + 8x = 0$

$x(x^2 - 9x + 8) = 0$

Решая квадратное уравнение $x^2 - 9x + 8 = 0$, находим корни $x=1$ и $x=8$.

Таким образом, критические точки: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 8$.

Эти точки делят числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 8)$ и $(8; +\infty)$. Определим знак производной на каждом интервале методом интервалов для выражения $f'(x)=x(x-1)(x-8)$:

• При $x \in (-\infty; 0)$, например $x=-1$, $f'(-1) = (-1)(-2)(-9) = -18 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (0; 1)$, например $x=0.5$, $f'(0.5) = 0.5(-0.5)(-7.5) > 0$, функция возрастает.
• При $x \in (1; 8)$, например $x=2$, $f'(2) = 2(1)(-6) = -12 < 0$, функция убывает.
• При $x \in (8; +\infty)$, например $x=10$, $f'(10) = 10(9)(2) = 180 > 0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[0; 1]$ и $[8; +\infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[1; 8]$.

3) $f(x) = 0,2x^5 - \frac{11}{3}x^3 + 18x + 1$

Область определения функции - все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Найдем производную функции:

$f'(x) = (0,2x^5 - \frac{11}{3}x^3 + 18x + 1)' = 5 \cdot 0,2x^4 - 3 \cdot \frac{11}{3}x^2 + 18 = x^4 - 11x^2 + 18$.

Найдем критические точки из уравнения $f'(x) = 0$:

$x^4 - 11x^2 + 18 = 0$.

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $y = x^2$, где $y \ge 0$:

$y^2 - 11y + 18 = 0$.

По теореме Виета, корни уравнения $y_1=2$ и $y_2=9$. Оба корня положительны.

Вернемся к переменной $x$:

$x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.

$x^2 = 9 \implies x = \pm 3$.

Критические точки: $x_1 = -3$, $x_2 = -\sqrt{2}$, $x_3 = \sqrt{2}$, $x_4 = 3$.

Эти точки делят числовую ось на пять интервалов. Определим знак производной $f'(x) = (x^2-2)(x^2-9)$ на каждом интервале:

• При $x \in (-\infty; -3)$, $x^2>9$, тогда $x^2-2>0$ и $x^2-9>0$, значит $f'(x)>0$, функция возрастает.
• При $x \in (-3; -\sqrt{2})$, $2<x^2<9$, тогда $x^2-2>0$ и $x^2-9<0$, значит $f'(x)<0$, функция убывает.
• При $x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2})$, $0 \le x^2 < 2$, тогда $x^2-2<0$ и $x^2-9<0$, значит $f'(x)>0$, функция возрастает.
• При $x \in (\sqrt{2}; 3)$, $2<x^2<9$, тогда $x^2-2>0$ и $x^2-9<0$, значит $f'(x)<0$, функция убывает.
• При $x \in (3; +\infty)$, $x^2>9$, тогда $x^2-2>0$ и $x^2-9>0$, значит $f'(x)>0$, функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3]$, $[-\sqrt{2}; \sqrt{2}]$ и $[3; +\infty)$, убывает на промежутках $[-3; -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}; 3]$.