Номер 289, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

289. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \cos \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$ в точке его пересечения с осью ординат.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Найдем точку касания.
Касательная проводится в точке пересечения графика с осью ординат. Абсцисса этой точки $x_0 = 0$.
Найдем ординату точки касания, вычислив значение функции при $x_0 = 0$:
$y_0 = f(0) = \cos(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{3}) = \cos(-\frac{\pi}{3})$.
Используя свойство четности функции косинус ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), получаем:
$y_0 = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(0; \frac{1}{2})$.

2. Найдем производную функции.
Для нахождения углового коэффициента касательной необходимо найти производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = (\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}))' = -\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}) \cdot (\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})' = -\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}) \cdot \frac{1}{2}$.
$f'(x) = -\frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3})$.

3. Найдем угловой коэффициент касательной.
Угловой коэффициент $k$ равен значению производной в точке касания $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = -\frac{1}{2}\sin(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\sin(-\frac{\pi}{3})$.
Используя свойство нечетности функции синус ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:
$k = -\frac{1}{2}(-\sin(\frac{\pi}{3})) = \frac{1}{2}\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

4. Составим уравнение касательной.
Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = \frac{1}{2}$ и $f'(x_0) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ в общее уравнение касательной:
$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}(x - 0)$.
$y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$.
Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$.