gdz.top
Номер 291, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рябинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-097749-4
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 3. Уравнение касательной - номер 291, страница 155.
№290
№291 (с. 155)
Условие. №291 (с. 155)
291. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции $f(x) = x^4 - 6x^2 - 5$.
Решение. №291 (с. 155)
Горизонтальная касательная — это прямая, параллельная оси абсцисс, ее угловой коэффициент (тангенс угла наклона) равен нулю. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$ в этой точке. Следовательно, чтобы найти уравнения горизонтальных касательных, нужно найти точки, в которых производная функции равна нулю.
1. Найдем производную функции $f(x) = x^4 - 6x^2 - 5$.
Используя правила дифференцирования, получаем:
$f'(x) = (x^4)' - (6x^2)' - (5)' = 4x^3 - 12x$.
2. Приравняем производную к нулю и найдем абсциссы точек, в которых касательные горизонтальны.
$f'(x) = 0$
$4x^3 - 12x = 0$
Вынесем общий множитель $4x$ за скобки:
$4x(x^2 - 3) = 0$
Это уравнение распадается на два:
$4x = 0 \implies x_1 = 0$
$x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x_2 = \sqrt{3}, x_3 = -\sqrt{3}$
Мы нашли три точки, в которых касательная к графику функции горизонтальна.
3. Найдем ординаты этих точек, подставив найденные значения $x$ в исходную функцию $f(x) = x^4 - 6x^2 - 5$. Уравнение горизонтальной касательной имеет вид $y = y_0$, где $y_0$ - это найденная ордината.
При $x_1 = 0$:
$y_1 = f(0) = 0^4 - 6(0)^2 - 5 = -5$.
Следовательно, уравнение первой горизонтальной касательной: $y = -5$.
При $x_2 = \sqrt{3}$:
$y_2 = f(\sqrt{3}) = (\sqrt{3})^4 - 6(\sqrt{3})^2 - 5 = 9 - 6 \cdot 3 - 5 = 9 - 18 - 5 = -14$.
При $x_3 = -\sqrt{3}$:
$y_3 = f(-\sqrt{3}) = (-\sqrt{3})^4 - 6(-\sqrt{3})^2 - 5 = 9 - 6 \cdot 3 - 5 = 9 - 18 - 5 = -14$.
В точках с абсциссами $\sqrt{3}$ и $-\sqrt{3}$ ординаты одинаковы, значит, это одна и та же касательная. Уравнение второй горизонтальной касательной: $y = -14$.
Ответ: $y = -5$, $y = -14$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 291 расположенного на странице 155 к дидактическим материалам серии алгоритм успеха 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №291 (с. 155), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рябинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.