Номер 288, страница 154 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

288. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = x^3 + 2x$, $x_0 = 4$;

2) $f(x) = \frac{1}{x+3}$, $x_0 = -2$;

3) $f(x) = \sqrt{x-5}$, $x_0 = 9$;

4) $f(x) = \cos \frac{1}{2}x$, $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Общее уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке $x_0$, а $f'(x_0)$ — значение производной функции в точке $x_0$.

1) $f(x) = x³ + 2x, x₀ = 4$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 4$:

$f(4) = 4^3 + 2 \cdot 4 = 64 + 8 = 72$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^3 + 2x)' = 3x^2 + 2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 4$:

$f'(4) = 3 \cdot 4^2 + 2 = 3 \cdot 16 + 2 = 48 + 2 = 50$.

4. Подставим найденные значения $f(4) = 72$, $f'(4) = 50$ и $x_0 = 4$ в уравнение касательной:

$y = 72 + 50(x - 4)$

$y = 72 + 50x - 200$

$y = 50x - 128$.

Ответ: $y = 50x - 128$.

2) $f(x) = \frac{1}{x+3}, x₀ = -2$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$:

$f(-2) = \frac{1}{-2 + 3} = \frac{1}{1} = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\frac{1}{x+3}\right)' = \left((x+3)^{-1}\right)' = -1 \cdot (x+3)^{-2} \cdot (x+3)' = -\frac{1}{(x+3)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -2$:

$f'(-2) = -\frac{1}{(-2+3)^2} = -\frac{1}{1^2} = -1$.

4. Подставим найденные значения $f(-2) = 1$, $f'(-2) = -1$ и $x_0 = -2$ в уравнение касательной:

$y = 1 + (-1)(x - (-2))$

$y = 1 - (x + 2)$

$y = 1 - x - 2$

$y = -x - 1$.

Ответ: $y = -x - 1$.

3) $f(x) = \sqrt{x-5}, x₀ = 9$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 9$:

$f(9) = \sqrt{9-5} = \sqrt{4} = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{x-5})' = \left((x-5)^{\frac{1}{2}}\right)' = \frac{1}{2}(x-5)^{-\frac{1}{2}} \cdot (x-5)' = \frac{1}{2\sqrt{x-5}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 9$:

$f'(9) = \frac{1}{2\sqrt{9-5}} = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$.

4. Подставим найденные значения $f(9) = 2$, $f'(9) = \frac{1}{4}$ и $x_0 = 9$ в уравнение касательной:

$y = 2 + \frac{1}{4}(x - 9)$

$y = 2 + \frac{1}{4}x - \frac{9}{4}$

$y = \frac{1}{4}x + \frac{8}{4} - \frac{9}{4}$

$y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}$.

Ответ: $y = \frac{1}{4}x - \frac{1}{4}$.

4) $f(x) = \cos\frac{1}{2}x, x₀ = \frac{\pi}{3}$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = \left(\cos\frac{x}{2}\right)' = -\sin\left(\frac{x}{2}\right) \cdot \left(\frac{x}{2}\right)' = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right)$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{3}$:

$f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

4. Подставим найденные значения $f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $f'\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{4}$ и $x_0 = \frac{\pi}{3}$ в уравнение касательной:

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{1}{4}\right)\left(x - \frac{\pi}{3}\right)$

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{4}x + \frac{\pi}{12}$

$y = -\frac{1}{4}x + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12}$.

Ответ: $y = -\frac{1}{4}x + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\pi}{12}$.