Номер 281, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

281. Найдите производную функции:

1) $y = 8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2;$

2) $y = \frac{1}{5}x^{10} + 4\sqrt{x} - 3x;$

3) $y = x - \frac{2}{x^2};$

4) $y = \frac{5}{x^7} - \frac{2}{x^5};$

5) $y = \frac{x^4}{4} - \sqrt{3} \operatorname{tg} x + \sin \frac{\pi}{6} - 4x^3;$

6) $y = \sin x - \operatorname{ctg} x.$

1) Для нахождения производной функции $y = 8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы/разности функций, правилом для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, и учтем, что производная константы равна нулю.
$y' = (8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2)' = (8x^9)' - (3x^5)' + (6x^3)' - (2)'$
$y' = 8 \cdot (x^9)' - 3 \cdot (x^5)' + 6 \cdot (x^3)' - 0$
$y' = 8 \cdot 9x^{9-1} - 3 \cdot 5x^{5-1} + 6 \cdot 3x^{3-1}$
$y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$
Ответ: $y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$.

2) Для функции $y = \frac{1}{5}x^{10} + 4\sqrt{x} - 3x$ представим $\sqrt{x}$ в виде степенной функции $x^{1/2}$ и применим те же правила дифференцирования.
$y' = (\frac{1}{5}x^{10} + 4x^{1/2} - 3x)' = (\frac{1}{5}x^{10})' + (4x^{1/2})' - (3x)'$
$y' = \frac{1}{5} \cdot 10x^{10-1} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - 3 \cdot 1$
$y' = 2x^9 + 2x^{-1/2} - 3$
$y' = 2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$
Ответ: $y' = 2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$.

3) Для функции $y = x - \frac{2}{x^2}$ представим второе слагаемое в виде $2x^{-2}$ и применим правило дифференцирования степенной функции.
$y' = (x - 2x^{-2})' = (x)' - (2x^{-2})'$
$y' = 1 - 2 \cdot (-2)x^{-2-1}$
$y' = 1 + 4x^{-3}$
$y' = 1 + \frac{4}{x^3}$
Ответ: $y' = 1 + \frac{4}{x^3}$.

4) Для функции $y = \frac{5}{x^7} - \frac{2}{x^5}$ представим слагаемые в виде степенных функций с отрицательными показателями: $y = 5x^{-7} - 2x^{-5}$.
$y' = (5x^{-7} - 2x^{-5})' = (5x^{-7})' - (2x^{-5})'$
$y' = 5 \cdot (-7)x^{-7-1} - 2 \cdot (-5)x^{-5-1}$
$y' = -35x^{-8} + 10x^{-6}$
$y' = -\frac{35}{x^8} + \frac{10}{x^6}$
Ответ: $y' = \frac{10}{x^6} - \frac{35}{x^8}$.

5) Для функции $y = \frac{x^4}{4} - \sqrt{3}\operatorname{tg}x + \sin\frac{\pi}{6} - 4x^3$ используем производные степенной функции и тангенса $(\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$. Слагаемое $\sin\frac{\pi}{6}$ является константой ($\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$), поэтому его производная равна нулю.
$y' = (\frac{x^4}{4})' - (\sqrt{3}\operatorname{tg}x)' + (\sin\frac{\pi}{6})' - (4x^3)'$
$y' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\cos^2x} + 0 - 4 \cdot 3x^{3-1}$
$y' = x^3 - \frac{\sqrt{3}}{\cos^2x} - 12x^2$
Ответ: $y' = x^3 - 12x^2 - \frac{\sqrt{3}}{\cos^2x}$.

6) Для функции $y = \sin x - \operatorname{ctg} x$ используем производные синуса $(\sin x)' = \cos x$ и котангенса $(\operatorname{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$.
$y' = (\sin x - \operatorname{ctg} x)' = (\sin x)' - (\operatorname{ctg} x)'$
$y' = \cos x - (-\frac{1}{\sin^2x})$
$y' = \cos x + \frac{1}{\sin^2x}$
Ответ: $y' = \cos x + \frac{1}{\sin^2x}$.