Номер 283, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

283. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{3 - 5x}{3x + 8}$;

2) $y = \frac{x^2 + 2x}{x - 5}$;

3) $y = \frac{x - 3}{\sqrt{x}}$;

4) $y = \frac{\sqrt{x}}{3x - 1}$;

5) $y = \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}$;

6) $y = \frac{\sin x}{2x^2}$.

1) Найдём производную функции $y = \frac{3 - 5x}{3x + 8}$.

Для нахождения производной частного двух функций используем формулу: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = 3 - 5x$ и $v(x) = 3x + 8$.

Найдём производные этих функций:

$u'(x) = (3 - 5x)' = -5$

$v'(x) = (3x + 8)' = 3$

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{-5(3x + 8) - (3 - 5x)(3)}{(3x + 8)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$y' = \frac{-15x - 40 - (9 - 15x)}{(3x + 8)^2} = \frac{-15x - 40 - 9 + 15x}{(3x + 8)^2} = \frac{-49}{(3x + 8)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{49}{(3x + 8)^2}$

2) Найдём производную функции $y = \frac{x^2 + 2x}{x - 5}$.

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = x^2 + 2x$ и $v(x) = x - 5$.

Найдём их производные:

$u'(x) = (x^2 + 2x)' = 2x + 2$

$v'(x) = (x - 5)' = 1$

Подставим в формулу производной частного:

$y' = \frac{(2x + 2)(x - 5) - (x^2 + 2x)(1)}{(x - 5)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$y' = \frac{2x^2 - 10x + 2x - 10 - x^2 - 2x}{(x - 5)^2} = \frac{x^2 - 10x - 10}{(x - 5)^2}$

Ответ: $y' = \frac{x^2 - 10x - 10}{(x - 5)^2}$

3) Найдём производную функции $y = \frac{x - 3}{\sqrt{x}}$.

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = x - 3$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.

Найдём их производные:

$u'(x) = (x - 3)' = 1$

$v'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставим в формулу:

$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x} - (x - 3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{\sqrt{x} - \frac{x - 3}{2\sqrt{x}}}{x}$

Приведём числитель к общему знаменателю и упростим:

$y' = \frac{\frac{2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - (x - 3)}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{2x - x + 3}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x + 3}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{x + 3}{2x\sqrt{x}}$

4) Найдём производную функции $y = \frac{\sqrt{x}}{3x - 1}$.

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = 3x - 1$.

Найдём их производные:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (3x - 1)' = 3$

Подставим в формулу:

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(3x - 1) - \sqrt{x}(3)}{(3x - 1)^2}$

Упростим числитель:

$y' = \frac{\frac{3x - 1}{2\sqrt{x}} - 3\sqrt{x}}{(3x - 1)^2} = \frac{\frac{3x - 1 - 3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(3x - 1)^2} = \frac{\frac{3x - 1 - 6x}{2\sqrt{x}}}{(3x - 1)^2} = \frac{-3x - 1}{2\sqrt{x}(3x - 1)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{3x + 1}{2\sqrt{x}(3x - 1)^2}$

5) Найдём производную функции $y = \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}$.

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = 1 - \sin x$ и $v(x) = 1 - \cos x$.

Найдём их производные:

$u'(x) = (1 - \sin x)' = -\cos x$

$v'(x) = (1 - \cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$

Подставим в формулу:

$y' = \frac{-\cos x (1 - \cos x) - (1 - \sin x) \sin x}{(1 - \cos x)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$y' = \frac{-\cos x + \cos^2 x - (\sin x - \sin^2 x)}{(1 - \cos x)^2} = \frac{-\cos x + \cos^2 x - \sin x + \sin^2 x}{(1 - \cos x)^2}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, упростим числитель:

$y' = \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x) - \sin x - \cos x}{(1 - \cos x)^2} = \frac{1 - \sin x - \cos x}{(1 - \cos x)^2}$

Ответ: $y' = \frac{1 - \sin x - \cos x}{(1 - \cos x)^2}$

6) Найдём производную функции $y = \frac{\sin x}{2x^2}$.

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = \sin x$ и $v(x) = 2x^2$.

Найдём их производные:

$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$

$v'(x) = (2x^2)' = 4x$

Подставим в формулу:

$y' = \frac{(\cos x)(2x^2) - (\sin x)(4x)}{(2x^2)^2} = \frac{2x^2 \cos x - 4x \sin x}{4x^4}$

Вынесем общий множитель $2x$ в числителе и сократим дробь:

$y' = \frac{2x(x \cos x - 2 \sin x)}{4x^4} = \frac{x \cos x - 2 \sin x}{2x^3}$

Ответ: $y' = \frac{x \cos x - 2 \sin x}{2x^3}$