Номер 279, страница 153 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

279. Касательная к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k$. Найдите $x_0$, если:

1) $f(x) = x^7, k = \frac{7}{64};$

2) $f(x) = \sqrt[5]{x}, k = \frac{1}{5};$

3) $f(x) = \cos x, k = -\frac{\sqrt{2}}{2}. $

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Это означает, что $k = f'(x_0)$. Для решения задачи необходимо найти производную функции, приравнять ее к заданному угловому коэффициенту $k$ и решить полученное уравнение относительно $x_0$.

1) Дано: $f(x) = x^7$, $k = \frac{7}{64}$.

Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.

Теперь приравниваем значение производной в точке $x_0$ к заданному коэффициенту $k$:

$f'(x_0) = 7x_0^6 = \frac{7}{64}$

Решаем полученное уравнение:

$x_0^6 = \frac{7}{64 \cdot 7} = \frac{1}{64}$

$x_0 = \pm\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \pm\frac{1}{2}$

Ответ: $x_0 = -\frac{1}{2}, x_0 = \frac{1}{2}$.

2) Дано: $f(x) = \sqrt[5]{x}$, $k = \frac{1}{5}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{1/5}$.

Находим производную:

$f'(x) = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5}x^{-4/5}$.

Приравниваем значение производной в точке $x_0$ к $k$:

$f'(x_0) = \frac{1}{5}x_0^{-4/5} = \frac{1}{5}$

Решаем уравнение:

$x_0^{-4/5} = 1$

Это уравнение равносильно тому, что $x_0^4 = 1^5 = 1$.

Отсюда получаем два возможных значения для $x_0$:

$x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

Ответ: $x_0 = -1, x_0 = 1$.

3) Дано: $f(x) = \cos x$, $k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Приравниваем значение производной в точке $x_0$ к $k$:

$f'(x_0) = -\sin x_0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем тригонометрическое уравнение:

$\sin x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$x_0 = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, то получаем:

$x_0 = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x_0 = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.