Страница 153 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

279. Касательная к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет угловой коэффициент $k$. Найдите $x_0$, если:

1) $f(x) = x^7, k = \frac{7}{64};$

2) $f(x) = \sqrt[5]{x}, k = \frac{1}{5};$

3) $f(x) = \cos x, k = -\frac{\sqrt{2}}{2}. $

Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Это означает, что $k = f'(x_0)$. Для решения задачи необходимо найти производную функции, приравнять ее к заданному угловому коэффициенту $k$ и решить полученное уравнение относительно $x_0$.

1) Дано: $f(x) = x^7$, $k = \frac{7}{64}$.

Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.

Теперь приравниваем значение производной в точке $x_0$ к заданному коэффициенту $k$:

$f'(x_0) = 7x_0^6 = \frac{7}{64}$

Решаем полученное уравнение:

$x_0^6 = \frac{7}{64 \cdot 7} = \frac{1}{64}$

$x_0 = \pm\sqrt[6]{\frac{1}{64}} = \pm\frac{1}{2}$

Ответ: $x_0 = -\frac{1}{2}, x_0 = \frac{1}{2}$.

2) Дано: $f(x) = \sqrt[5]{x}$, $k = \frac{1}{5}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{1/5}$.

Находим производную:

$f'(x) = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{\frac{1}{5}-1} = \frac{1}{5}x^{-4/5}$.

Приравниваем значение производной в точке $x_0$ к $k$:

$f'(x_0) = \frac{1}{5}x_0^{-4/5} = \frac{1}{5}$

Решаем уравнение:

$x_0^{-4/5} = 1$

Это уравнение равносильно тому, что $x_0^4 = 1^5 = 1$.

Отсюда получаем два возможных значения для $x_0$:

$x_0 = 1$ и $x_0 = -1$.

Ответ: $x_0 = -1, x_0 = 1$.

3) Дано: $f(x) = \cos x$, $k = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Находим производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Приравниваем значение производной в точке $x_0$ к $k$:

$f'(x_0) = -\sin x_0 = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Решаем тригонометрическое уравнение:

$\sin x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Общее решение этого уравнения имеет вид:

$x_0 = (-1)^n \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$, то получаем:

$x_0 = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x_0 = (-1)^n \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

280. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = \frac{1}{t^4}$. Найдите $s'(2)$. Какой механический смысл имеет найденная величина?

Найдите s'(2)

Задан закон движения материальной точки по координатной прямой: $s(t) = \frac{1}{t^4}$.

Для того чтобы найти $s'(t)$, сначала представим функцию в виде степенной функции: $s(t) = t^{-4}$.

Теперь найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
$s'(t) = (t^{-4})' = -4 \cdot t^{-4-1} = -4t^{-5}$.

Перепишем результат в виде дроби:
$s'(t) = -\frac{4}{t^5}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $t=2$:
$s'(2) = -\frac{4}{2^5} = -\frac{4}{32}$.

Сократив дробь, получаем:
$s'(2) = -\frac{1}{8}$.

Ответ: $s'(2) = -\frac{1}{8}$.

Какой механический смысл имеет найденная величина?

Механический смысл производной от функции, описывающей закон движения ($s(t)$), заключается в том, что она представляет собой мгновенную скорость движения точки в данный момент времени. Иными словами, $v(t) = s'(t)$.

Следовательно, найденная величина $s'(2) = -\frac{1}{8}$ — это мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t=2$. Отрицательное значение скорости означает, что в этот момент точка движется в направлении, противоположном положительному направлению координатной оси.

Ответ: Мгновенная скорость материальной точки в момент времени $t=2$.

281. Найдите производную функции:

1) $y = 8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2;$

2) $y = \frac{1}{5}x^{10} + 4\sqrt{x} - 3x;$

3) $y = x - \frac{2}{x^2};$

4) $y = \frac{5}{x^7} - \frac{2}{x^5};$

5) $y = \frac{x^4}{4} - \sqrt{3} \operatorname{tg} x + \sin \frac{\pi}{6} - 4x^3;$

6) $y = \sin x - \operatorname{ctg} x.$

1) Для нахождения производной функции $y = 8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2$ воспользуемся правилом дифференцирования суммы/разности функций, правилом для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$, и учтем, что производная константы равна нулю.
$y' = (8x^9 - 3x^5 + 6x^3 - 2)' = (8x^9)' - (3x^5)' + (6x^3)' - (2)'$
$y' = 8 \cdot (x^9)' - 3 \cdot (x^5)' + 6 \cdot (x^3)' - 0$
$y' = 8 \cdot 9x^{9-1} - 3 \cdot 5x^{5-1} + 6 \cdot 3x^{3-1}$
$y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$
Ответ: $y' = 72x^8 - 15x^4 + 18x^2$.

2) Для функции $y = \frac{1}{5}x^{10} + 4\sqrt{x} - 3x$ представим $\sqrt{x}$ в виде степенной функции $x^{1/2}$ и применим те же правила дифференцирования.
$y' = (\frac{1}{5}x^{10} + 4x^{1/2} - 3x)' = (\frac{1}{5}x^{10})' + (4x^{1/2})' - (3x)'$
$y' = \frac{1}{5} \cdot 10x^{10-1} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} - 3 \cdot 1$
$y' = 2x^9 + 2x^{-1/2} - 3$
$y' = 2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$
Ответ: $y' = 2x^9 + \frac{2}{\sqrt{x}} - 3$.

3) Для функции $y = x - \frac{2}{x^2}$ представим второе слагаемое в виде $2x^{-2}$ и применим правило дифференцирования степенной функции.
$y' = (x - 2x^{-2})' = (x)' - (2x^{-2})'$
$y' = 1 - 2 \cdot (-2)x^{-2-1}$
$y' = 1 + 4x^{-3}$
$y' = 1 + \frac{4}{x^3}$
Ответ: $y' = 1 + \frac{4}{x^3}$.

4) Для функции $y = \frac{5}{x^7} - \frac{2}{x^5}$ представим слагаемые в виде степенных функций с отрицательными показателями: $y = 5x^{-7} - 2x^{-5}$.
$y' = (5x^{-7} - 2x^{-5})' = (5x^{-7})' - (2x^{-5})'$
$y' = 5 \cdot (-7)x^{-7-1} - 2 \cdot (-5)x^{-5-1}$
$y' = -35x^{-8} + 10x^{-6}$
$y' = -\frac{35}{x^8} + \frac{10}{x^6}$
Ответ: $y' = \frac{10}{x^6} - \frac{35}{x^8}$.

5) Для функции $y = \frac{x^4}{4} - \sqrt{3}\operatorname{tg}x + \sin\frac{\pi}{6} - 4x^3$ используем производные степенной функции и тангенса $(\operatorname{tg}x)' = \frac{1}{\cos^2x}$. Слагаемое $\sin\frac{\pi}{6}$ является константой ($\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$), поэтому его производная равна нулю.
$y' = (\frac{x^4}{4})' - (\sqrt{3}\operatorname{tg}x)' + (\sin\frac{\pi}{6})' - (4x^3)'$
$y' = \frac{1}{4} \cdot 4x^{4-1} - \sqrt{3} \cdot \frac{1}{\cos^2x} + 0 - 4 \cdot 3x^{3-1}$
$y' = x^3 - \frac{\sqrt{3}}{\cos^2x} - 12x^2$
Ответ: $y' = x^3 - 12x^2 - \frac{\sqrt{3}}{\cos^2x}$.

6) Для функции $y = \sin x - \operatorname{ctg} x$ используем производные синуса $(\sin x)' = \cos x$ и котангенса $(\operatorname{ctg}x)' = -\frac{1}{\sin^2x}$.
$y' = (\sin x - \operatorname{ctg} x)' = (\sin x)' - (\operatorname{ctg} x)'$
$y' = \cos x - (-\frac{1}{\sin^2x})$
$y' = \cos x + \frac{1}{\sin^2x}$
Ответ: $y' = \cos x + \frac{1}{\sin^2x}$.

282. Найдите производную функции:

1) $y = (x^2 - 5)(x^3 + 4)$;

2) $y = \sqrt{x}(2x^2 + 4)$;

3) $y = (\sqrt{x} - 8)(9 - 7\sqrt{x})$;

4) $y = (x^4 + 2x^2 - 5)(x^2 - 2x + 2)$;

5) $y = x^3 \cos x$;

6) $y = 4x \operatorname{ctg} x$.

1) Для нахождения производной функции $y = (x^2 - 5)(x^3 + 4)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = x^2 - 5$ и $v = x^3 + 4$.
Найдём производные этих функций: $u' = (x^2 - 5)' = 2x$ и $v' = (x^3 + 4)' = 3x^2$.
Теперь подставим найденные значения в формулу производной произведения:
$y' = u'v + uv' = (2x)(x^3 + 4) + (x^2 - 5)(3x^2)$.
Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$y' = 2x \cdot x^3 + 2x \cdot 4 + x^2 \cdot 3x^2 - 5 \cdot 3x^2 = 2x^4 + 8x + 3x^4 - 15x^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$y' = (2x^4 + 3x^4) - 15x^2 + 8x = 5x^4 - 15x^2 + 8x$.
Ответ: $y' = 5x^4 - 15x^2 + 8x$.

2) Для функции $y = \sqrt{x}(2x^2 + 4)$ можно сначала упростить выражение, раскрыв скобки. Представим $\sqrt{x}$ в виде $x^{1/2}$.
$y = x^{1/2}(2x^2 + 4) = 2x^{1/2} \cdot x^2 + 4x^{1/2} = 2x^{2 + 1/2} + 4x^{1/2} = 2x^{5/2} + 4x^{1/2}$.
Теперь найдем производную, используя правило $(x^n)'=nx^{n-1}$ для каждого слагаемого:
$y' = (2x^{5/2})' + (4x^{1/2})' = 2 \cdot \frac{5}{2}x^{5/2 - 1} + 4 \cdot \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} = 5x^{3/2} + 2x^{-1/2}$.
Этот результат можно также записать в виде выражения с корнями:
$y' = 5x\sqrt{x} + \frac{2}{\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = 5x^{3/2} + 2x^{-1/2}$.

3) Для функции $y = (\sqrt{x} - 8)(9 - 7\sqrt{x})$ проще всего сначала раскрыть скобки:
$y = \sqrt{x} \cdot 9 - \sqrt{x} \cdot 7\sqrt{x} - 8 \cdot 9 + 8 \cdot 7\sqrt{x} = 9\sqrt{x} - 7x - 72 + 56\sqrt{x}$.
Приведем подобные слагаемые:
$y = (9\sqrt{x} + 56\sqrt{x}) - 7x - 72 = 65\sqrt{x} - 7x - 72$.
Теперь найдем производную этого выражения. Вспомним, что $(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$y' = (65\sqrt{x})' - (7x)' - (72)' = 65 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 7 - 0 = \frac{65}{2\sqrt{x}} - 7$.
Ответ: $y' = \frac{65}{2\sqrt{x}} - 7$.

4) Для нахождения производной функции $y = (x^4 + 2x^2 - 5)(x^2 - 2x + 2)$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = x^4 + 2x^2 - 5$ и $v = x^2 - 2x + 2$.
Находим их производные:
$u' = (x^4 + 2x^2 - 5)' = 4x^3 + 4x$.
$v' = (x^2 - 2x + 2)' = 2x - 2$.
Подставляем в формулу:
$y' = (4x^3 + 4x)(x^2 - 2x + 2) + (x^4 + 2x^2 - 5)(2x - 2)$.
Раскроем скобки:
$y' = (4x^5 - 8x^4 + 8x^3 + 4x^3 - 8x^2 + 8x) + (2x^5 - 2x^4 + 4x^3 - 4x^2 - 10x + 10)$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$y' = (4x^5+2x^5) + (-8x^4-2x^4) + (8x^3+4x^3+4x^3) + (-8x^2-4x^2) + (8x-10x) + 10$.
$y' = 6x^5 - 10x^4 + 16x^3 - 12x^2 - 2x + 10$.
Ответ: $y' = 6x^5 - 10x^4 + 16x^3 - 12x^2 - 2x + 10$.

5) Для функции $y = x^3 \cos x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.
Пусть $u = x^3$ и $v = \cos x$.
Их производные: $u' = 3x^2$ и $v' = (\cos x)' = -\sin x$.
Подставляем в формулу:
$y' = (x^3)' \cos x + x^3 (\cos x)' = 3x^2 \cdot \cos x + x^3 \cdot (-\sin x)$.
Упрощаем выражение:
$y' = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x$.
Ответ: $y' = 3x^2 \cos x - x^3 \sin x$.

6) Для функции $y = 4x \operatorname{ctg} x$ вынесем константу 4 за знак производной и применим правило производной произведения к $x \operatorname{ctg} x$.
$y' = 4 \cdot (x \operatorname{ctg} x)'$.
Пусть $u = x$ и $v = \operatorname{ctg} x$.
Их производные: $u' = 1$ и $v' = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$.
Подставляем в формулу $(uv)' = u'v + uv'$:
$(x \operatorname{ctg} x)' = 1 \cdot \operatorname{ctg} x + x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right) = \operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}$.
Теперь умножим результат на 4:
$y' = 4\left(\operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}\right) = 4 \operatorname{ctg} x - \frac{4x}{\sin^2 x}$.
Ответ: $y' = 4 \operatorname{ctg} x - \frac{4x}{\sin^2 x}$.

283. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{3 - 5x}{3x + 8}$;

2) $y = \frac{x^2 + 2x}{x - 5}$;

3) $y = \frac{x - 3}{\sqrt{x}}$;

4) $y = \frac{\sqrt{x}}{3x - 1}$;

5) $y = \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}$;

6) $y = \frac{\sin x}{2x^2}$.

1) Найдём производную функции $y = \frac{3 - 5x}{3x + 8}$.

Для нахождения производной частного двух функций используем формулу: $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

В нашем случае $u(x) = 3 - 5x$ и $v(x) = 3x + 8$.

Найдём производные этих функций:

$u'(x) = (3 - 5x)' = -5$

$v'(x) = (3x + 8)' = 3$

Теперь подставим найденные значения в формулу производной частного:

$y' = \frac{-5(3x + 8) - (3 - 5x)(3)}{(3x + 8)^2}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение:

$y' = \frac{-15x - 40 - (9 - 15x)}{(3x + 8)^2} = \frac{-15x - 40 - 9 + 15x}{(3x + 8)^2} = \frac{-49}{(3x + 8)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{49}{(3x + 8)^2}$

2) Найдём производную функции $y = \frac{x^2 + 2x}{x - 5}$.

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = x^2 + 2x$ и $v(x) = x - 5$.

Найдём их производные:

$u'(x) = (x^2 + 2x)' = 2x + 2$

$v'(x) = (x - 5)' = 1$

Подставим в формулу производной частного:

$y' = \frac{(2x + 2)(x - 5) - (x^2 + 2x)(1)}{(x - 5)^2}$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$y' = \frac{2x^2 - 10x + 2x - 10 - x^2 - 2x}{(x - 5)^2} = \frac{x^2 - 10x - 10}{(x - 5)^2}$

Ответ: $y' = \frac{x^2 - 10x - 10}{(x - 5)^2}$

3) Найдём производную функции $y = \frac{x - 3}{\sqrt{x}}$.

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = x - 3$ и $v(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}$.

Найдём их производные:

$u'(x) = (x - 3)' = 1$

$v'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставим в формулу:

$y' = \frac{1 \cdot \sqrt{x} - (x - 3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} = \frac{\sqrt{x} - \frac{x - 3}{2\sqrt{x}}}{x}$

Приведём числитель к общему знаменателю и упростим:

$y' = \frac{\frac{2\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - (x - 3)}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{\frac{2x - x + 3}{2\sqrt{x}}}{x} = \frac{x + 3}{2x\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{x + 3}{2x\sqrt{x}}$

4) Найдём производную функции $y = \frac{\sqrt{x}}{3x - 1}$.

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = 3x - 1$.

Найдём их производные:

$u'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

$v'(x) = (3x - 1)' = 3$

Подставим в формулу:

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(3x - 1) - \sqrt{x}(3)}{(3x - 1)^2}$

Упростим числитель:

$y' = \frac{\frac{3x - 1}{2\sqrt{x}} - 3\sqrt{x}}{(3x - 1)^2} = \frac{\frac{3x - 1 - 3\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}}}{(3x - 1)^2} = \frac{\frac{3x - 1 - 6x}{2\sqrt{x}}}{(3x - 1)^2} = \frac{-3x - 1}{2\sqrt{x}(3x - 1)^2}$

Ответ: $y' = -\frac{3x + 1}{2\sqrt{x}(3x - 1)^2}$

5) Найдём производную функции $y = \frac{1 - \sin x}{1 - \cos x}$.

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = 1 - \sin x$ и $v(x) = 1 - \cos x$.

Найдём их производные:

$u'(x) = (1 - \sin x)' = -\cos x$

$v'(x) = (1 - \cos x)' = -(-\sin x) = \sin x$

Подставим в формулу:

$y' = \frac{-\cos x (1 - \cos x) - (1 - \sin x) \sin x}{(1 - \cos x)^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$y' = \frac{-\cos x + \cos^2 x - (\sin x - \sin^2 x)}{(1 - \cos x)^2} = \frac{-\cos x + \cos^2 x - \sin x + \sin^2 x}{(1 - \cos x)^2}$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, упростим числитель:

$y' = \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x) - \sin x - \cos x}{(1 - \cos x)^2} = \frac{1 - \sin x - \cos x}{(1 - \cos x)^2}$

Ответ: $y' = \frac{1 - \sin x - \cos x}{(1 - \cos x)^2}$

6) Найдём производную функции $y = \frac{\sin x}{2x^2}$.

Используем правило дифференцирования частного. Пусть $u(x) = \sin x$ и $v(x) = 2x^2$.

Найдём их производные:

$u'(x) = (\sin x)' = \cos x$

$v'(x) = (2x^2)' = 4x$

Подставим в формулу:

$y' = \frac{(\cos x)(2x^2) - (\sin x)(4x)}{(2x^2)^2} = \frac{2x^2 \cos x - 4x \sin x}{4x^4}$

Вынесем общий множитель $2x$ в числителе и сократим дробь:

$y' = \frac{2x(x \cos x - 2 \sin x)}{4x^4} = \frac{x \cos x - 2 \sin x}{2x^3}$

Ответ: $y' = \frac{x \cos x - 2 \sin x}{2x^3}$