Страница 152 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

273. Найдите производную функции:

1) $y = 3x - 11;$

2) $y = \frac{6 - x}{9};$

3) $y = -1;$

4) $y = x^{12};$

5) $y = \frac{1}{x^{11}};$

6) $y = x^{1,7};$

7) $y = x^{-4,1};$

8) $y = \sqrt[9]{x};$

9) $y = \sqrt[8]{x^7};$

10) $y = \frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}.$

1) Исходная функция: $y = 3x - 11$.
Для нахождения производной используем правила дифференцирования: производная разности функций равна разности производных, производная $kx$ равна $k$, производная константы равна нулю.
$y' = (3x - 11)' = (3x)' - (11)' = 3 - 0 = 3$.
Ответ: $y' = 3$.

2) Исходная функция: $y = \frac{6-x}{9}$.
Представим функцию в виде $y = \frac{6}{9} - \frac{x}{9} = \frac{2}{3} - \frac{1}{9}x$.
Теперь найдем производную:
$y' = (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}x)' = (\frac{2}{3})' - (\frac{1}{9}x)' = 0 - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{9}$.

3) Исходная функция: $y = -1$.
Это константа, а производная любой константы равна нулю.
$y' = (-1)' = 0$.
Ответ: $y' = 0$.

4) Исходная функция: $y = x^{12}$.
Используем формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=12$.
$y' = (x^{12})' = 12 \cdot x^{12-1} = 12x^{11}$.
Ответ: $y' = 12x^{11}$.

5) Исходная функция: $y = \frac{1}{x^{11}}$.
Перепишем функцию в виде степени с отрицательным показателем: $y = x^{-11}$.
Применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=-11$.
$y' = (x^{-11})' = -11 \cdot x^{-11-1} = -11x^{-12}$.
Можно также записать ответ в виде дроби: $y' = -\frac{11}{x^{12}}$.
Ответ: $y' = -11x^{-12}$.

6) Исходная функция: $y = x^{1,7}$.
Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=1,7$.
$y' = (x^{1,7})' = 1,7 \cdot x^{1,7-1} = 1,7x^{0,7}$.
Ответ: $y' = 1,7x^{0,7}$.

7) Исходная функция: $y = x^{-4,1}$.
Применяем формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=-4,1$.
$y' = (x^{-4,1})' = -4,1 \cdot x^{-4,1-1} = -4,1x^{-5,1}$.
Ответ: $y' = -4,1x^{-5,1}$.

8) Исходная функция: $y = \sqrt[9]{x}$.
Перепишем функцию в виде степени с дробным показателем: $y = x^{\frac{1}{9}}$.
Применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=\frac{1}{9}$.
$y' = (x^{\frac{1}{9}})' = \frac{1}{9} \cdot x^{\frac{1}{9}-1} = \frac{1}{9}x^{\frac{1}{9}-\frac{9}{9}} = \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}}$.

9) Исходная функция: $y = \sqrt[8]{x^7}$.
Перепишем функцию в виде степени с дробным показателем: $y = x^{\frac{7}{8}}$.
Применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=\frac{7}{8}$.
$y' = (x^{\frac{7}{8}})' = \frac{7}{8} \cdot x^{\frac{7}{8}-1} = \frac{7}{8}x^{\frac{7}{8}-\frac{8}{8}} = \frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}}$.
Ответ: $y' = \frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}}$.

10) Исходная функция: $y = \frac{1}{\sqrt[5]{x^3}}$.
Перепишем функцию в виде степени с отрицательным показателем: $y = \frac{1}{x^{\frac{3}{5}}} = x^{-\frac{3}{5}}$.
Применим формулу производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$, где $n=-\frac{3}{5}$.
$y' = (x^{-\frac{3}{5}})' = -\frac{3}{5} \cdot x^{-\frac{3}{5}-1} = -\frac{3}{5}x^{-\frac{3}{5}-\frac{5}{5}} = -\frac{3}{5}x^{-\frac{8}{5}}$.
Ответ: $y' = -\frac{3}{5}x^{-\frac{8}{5}}$.

274. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{4};$

2) $f(x) = \sin x, x_0 = -\frac{\pi}{6}.$

275. Вычислите значение производной данной функции в точке $x_0$:

1) $f(x) = 7x^4\sqrt{x}, x_0 = 1;$

2) $\varphi(x) = \frac{3x^4}{\sqrt[5]{x}}, x_0 = -1.$

1)

Дана функция $f(x) = 7x^4\sqrt{x}$ и точка $x_0 = 1$.
Для нахождения производной сначала упростим выражение для функции. Представим $\sqrt{x}$ как $x^{1/2}$ и воспользуемся свойством степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$: $f(x) = 7x^4 \cdot x^{1/2} = 7x^{4 + \frac{1}{2}} = 7x^{\frac{9}{2}}$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$ по правилу дифференцирования степенной функции $(ax^n)' = anx^{n-1}$: $f'(x) = (7x^{\frac{9}{2}})' = 7 \cdot \frac{9}{2} \cdot x^{\frac{9}{2} - 1} = \frac{63}{2}x^{\frac{7}{2}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$: $f'(1) = \frac{63}{2} \cdot 1^{\frac{7}{2}} = \frac{63}{2} \cdot 1 = \frac{63}{2}$.

Ответ: $\frac{63}{2}$

2)

Дана функция $\phi(x) = \frac{3x^4}{\sqrt[5]{x}}$ и точка $x_0 = -1$.
Упростим выражение для функции. Представим $\sqrt[5]{x}$ как $x^{1/5}$ и воспользуемся свойством степеней $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$: $\phi(x) = \frac{3x^4}{x^{\frac{1}{5}}} = 3x^{4 - \frac{1}{5}} = 3x^{\frac{19}{5}}$.

Найдем производную функции $\phi(x)$, используя то же правило дифференцирования: $\phi'(x) = (3x^{\frac{19}{5}})' = 3 \cdot \frac{19}{5} \cdot x^{\frac{19}{5} - 1} = \frac{57}{5}x^{\frac{14}{5}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = -1$: $\phi'(-1) = \frac{57}{5}(-1)^{\frac{14}{5}}$.
Значение $(-1)^{\frac{14}{5}}$ равно $(\sqrt[5]{-1})^{14}$. Так как $\sqrt[5]{-1} = -1$, то получаем: $(-1)^{14} = 1$, поскольку показатель степени 14 является четным числом. Таким образом, $\phi'(-1) = \frac{57}{5} \cdot 1 = \frac{57}{5}$.

Ответ: $\frac{57}{5}$

276. Пользуясь определением, найдите $f'(x)$, если:

1) $f(x) = 7 - 4x$;

2) $f(x) = x^2 - 5x + 4$.

1) f(x) = 7 - 4x;

Для нахождения производной $f'(x)$ воспользуемся определением производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Сначала найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = 7 - 4(x + \Delta x) = 7 - 4x - 4\Delta x$

Теперь найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (7 - 4x - 4\Delta x) - (7 - 4x) = 7 - 4x - 4\Delta x - 7 + 4x = -4\Delta x$

Далее найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-4\Delta x}{\Delta x} = -4$

Наконец, найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (-4) = -4$

Ответ: $-4$

2) f(x) = x^2 - 5x + 4;

Воспользуемся определением производной:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Найдем значение функции в точке $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 - 5(x + \Delta x) + 4 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 5x - 5\Delta x + 4$

Теперь найдем приращение функции $\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 5x - 5\Delta x + 4) - (x^2 - 5x + 4)$

$\Delta f = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 5x - 5\Delta x + 4 - x^2 + 5x - 4 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 5\Delta x$

Далее найдем отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 - 5\Delta x}{\Delta x} = \frac{\Delta x(2x + \Delta x - 5)}{\Delta x} = 2x + \Delta x - 5$

Наконец, найдем предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x - 5) = 2x + 0 - 5 = 2x - 5$

Ответ: $2x - 5$

277. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = x^7, x_0 = 1;$

2) $f(x) = \sqrt[6]{x}, x_0 = 64;$

3) $f(x) = \frac{1}{x^5}, x_0 = 3;$

4) $f(x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6}.$

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = x^7$ и точка $x_0 = 1$.

Сначала найдём производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = (x^7)' = 7x^{7-1} = 7x^6$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = 7 \cdot 1^6 = 7 \cdot 1 = 7$.

Ответ: $7$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt[6]{x}$ и точка $x_0 = 64$.

Представим функцию в виде степени, чтобы применить правило дифференцирования: $f(x) = x^{\frac{1}{6}}$.

Найдём производную функции:

$f'(x) = \left(x^{\frac{1}{6}}\right)' = \frac{1}{6}x^{\frac{1}{6}-1} = \frac{1}{6}x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 64$:

$k = f'(64) = \frac{1}{6} \cdot 64^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6 \cdot 64^{\frac{5}{6}}} = \frac{1}{6 \cdot (\sqrt[6]{64})^5}$.

Так как $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$. Подставим это значение:

$k = \frac{1}{6 \cdot 2^5} = \frac{1}{6 \cdot 32} = \frac{1}{192}$.

Ответ: $\frac{1}{192}$.

3) Дана функция $f(x) = \frac{1}{x^5}$ и точка $x_0 = 3$.

Представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-5}$.

Найдём производную функции:

$f'(x) = (x^{-5})' = -5x^{-5-1} = -5x^{-6} = -\frac{5}{x^6}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 3$:

$k = f'(3) = -\frac{5}{3^6} = -\frac{5}{729}$.

Ответ: $-\frac{5}{729}$.

4) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Найдём производную функции, используя таблицу производных:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$:

$k = f'\left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

278. Найдите с помощью графика функции $f$ (рис. 28) значения $f'(x_1)$, $f'(x_2)$ и $f'(x_3)$.

Рис. 28

Значение производной функции $f'(x)$ в некоторой точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции $y=f(x)$ в этой точке. Угол наклона касательной — это угол, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс (оси Ox).

f'(x₁)

На графике показано, что касательная к функции в точке $x_1$ образует с положительным направлением оси Ox угол, равный $30^\circ$. Следовательно, значение производной в этой точке равно тангенсу этого угла:

$f'(x_1) = \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $f'(x_1) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

f'(x₂)

В точке $x_2$ функция достигает своего локального минимума. В точках экстремума (минимума или максимума) касательная к графику функции горизонтальна, то есть параллельна оси Ox. Угол наклона такой касательной равен $0^\circ$. Поэтому производная в этой точке равна нулю:

$f'(x_2) = \tan(0^\circ) = 0$.

Ответ: $f'(x_2) = 0$.

f'(x₃)

Касательная к графику функции в точке $x_3$ образует с положительным направлением оси Ox угол, равный $135^\circ$. Значение производной в этой точке равно тангенсу этого угла:

$f'(x_3) = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

Ответ: $f'(x_3) = -1$.