Страница 158 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

309. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f$ на указанном промежутке:

1) $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2$, $[-1; 4]$

2) $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 18x + 1$, $[-4; 0]$

3) $f(x) = x^4 + 3x^2 - 1$, $[2; 3]$

4) $f(x) = \frac{x^2+12}{x-2}$, $[-3; 1]$

1) $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2$ на промежутке $[-1; 4]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, необходимо найти значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем выбрать из них наибольшее и наименьшее.

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{2}{3}x^3 - 3x^2)' = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x = 2x^2 - 6x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$2x^2 - 6x = 0$

$2x(x - 3) = 0$

Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

3. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному промежутку $[-1; 4]$.

Обе точки $x=0$ и $x=3$ принадлежат отрезку $[-1; 4]$.

4. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:

$f(-1) = \frac{2}{3}(-1)^3 - 3(-1)^2 = -\frac{2}{3} - 3 = -3\frac{2}{3}$.

$f(0) = \frac{2}{3}(0)^3 - 3(0)^2 = 0$.

$f(3) = \frac{2}{3}(3)^3 - 3(3)^2 = \frac{2}{3} \cdot 27 - 3 \cdot 9 = 18 - 27 = -9$.

$f(4) = \frac{2}{3}(4)^3 - 3(4)^2 = \frac{2}{3} \cdot 64 - 48 = \frac{128}{3} - \frac{144}{3} = -\frac{16}{3} = -5\frac{1}{3}$.

5. Сравним полученные значения: $0$, $-9$, $-3\frac{2}{3}$ и $-5\frac{1}{3}$.

Наибольшее значение функции на отрезке равно $0$.

Наименьшее значение функции на отрезке равно $-9$.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб} = f(0) = 0$; наименьшее значение $f_{наим} = f(3) = -9$.

2) $f(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 18x + 1$ на промежутке $[-4; 0]$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 18x + 1)' = 3x^2 + \frac{3}{2} \cdot 2x - 18 = 3x^2 + 3x - 18$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$3x^2 + 3x - 18 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 + x - 6 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.

3. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному промежутку $[-4; 0]$.

Точка $x=-3$ принадлежит отрезку $[-4; 0]$.

Точка $x=2$ не принадлежит отрезку $[-4; 0]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=-3$ и на концах отрезка:

$f(-4) = (-4)^3 + \frac{3}{2}(-4)^2 - 18(-4) + 1 = -64 + \frac{3}{2} \cdot 16 + 72 + 1 = -64 + 24 + 73 = 33$.

$f(-3) = (-3)^3 + \frac{3}{2}(-3)^2 - 18(-3) + 1 = -27 + \frac{3}{2} \cdot 9 + 54 + 1 = 28 + \frac{27}{2} = 28 + 13.5 = 41.5$.

$f(0) = 0^3 + \frac{3}{2} \cdot 0^2 - 18 \cdot 0 + 1 = 1$.

5. Сравним полученные значения: $33$, $41.5$ и $1$.

Наибольшее значение функции на отрезке равно $41.5$.

Наименьшее значение функции на отрезке равно $1$.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб} = f(-3) = 41.5$; наименьшее значение $f_{наим} = f(0) = 1$.

3) $f(x) = x^4 + 3x^2 - 1$ на промежутке $[2; 3]$

1. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^4 + 3x^2 - 1)' = 4x^3 + 6x$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4x^3 + 6x = 0$

$2x(2x^2 + 3) = 0$

Единственный действительный корень этого уравнения $x=0$.

3. Проверим, принадлежит ли критическая точка заданному промежутку $[2; 3]$.

Точка $x=0$ не принадлежит отрезку $[2; 3]$.

4. Так как на отрезке $[2; 3]$ нет критических точек, а производная $f'(x) = 2x(2x^2 + 3)$ положительна для всех $x > 0$ (и, в частности, на отрезке $[2; 3]$), функция $f(x)$ возрастает на этом отрезке. Следовательно, наименьшее значение она принимает на левом конце, а наибольшее — на правом.

5. Вычислим значения функции на концах отрезка:

$f(2) = 2^4 + 3 \cdot 2^2 - 1 = 16 + 3 \cdot 4 - 1 = 16 + 12 - 1 = 27$.

$f(3) = 3^4 + 3 \cdot 3^2 - 1 = 81 + 3 \cdot 9 - 1 = 81 + 27 - 1 = 107$.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб} = f(3) = 107$; наименьшее значение $f_{наим} = f(2) = 27$.

4) $f(x) = \frac{x^2 + 12}{x - 2}$ на промежутке $[-3; 1]$

Область определения функции: $x \neq 2$. Заданный отрезок $[-3; 1]$ входит в область определения.

1. Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного:

$f'(x) = \left(\frac{x^2 + 12}{x - 2}\right)' = \frac{(x^2+12)'(x-2) - (x^2+12)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{2x(x-2) - (x^2+12) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 12}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x - 12}{(x-2)^2}$.

2. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\frac{x^2 - 4x - 12}{(x-2)^2} = 0$

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x^2 - 4x - 12 = 0$

По теореме Виета, корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$.

3. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному промежутку $[-3; 1]$.

Точка $x=6$ не принадлежит отрезку $[-3; 1]$.

Точка $x=-2$ принадлежит отрезку $[-3; 1]$.

4. Вычислим значения функции в критической точке $x=-2$ и на концах отрезка:

$f(-3) = \frac{(-3)^2 + 12}{-3 - 2} = \frac{9 + 12}{-5} = \frac{21}{-5} = -4.2$.

$f(-2) = \frac{(-2)^2 + 12}{-2 - 2} = \frac{4 + 12}{-4} = \frac{16}{-4} = -4$.

$f(1) = \frac{1^2 + 12}{1 - 2} = \frac{1 + 12}{-1} = -13$.

5. Сравним полученные значения: $-4.2$, $-4$ и $-13$.

Наибольшее значение функции на отрезке равно $-4$.

Наименьшее значение функции на отрезке равно $-13$.

Ответ: наибольшее значение $f_{наиб} = f(-2) = -4$; наименьшее значение $f_{наим} = f(1) = -13$.

310. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на указанном промежутке:

1) $f(x) = \sqrt{15 - 2x - x^2}$, $[-4; 1];$

2) $f(x) = (x - 3)^3 (x + 1)^2$, $[-2; 4];$

3) $f(x) = 2\cos x - \sin 2x$, $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right].$

1) $f(x) = \sqrt{15 - 2x - x^2}$, $[-4; 1]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравним их.

Сначала найдем область определения функции. Поткоренное выражение должно быть неотрицательным:
$15 - 2x - x^2 \ge 0$
$x^2 + 2x - 15 \le 0$
Корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.
Следовательно, область определения $D(f) = [-5; 3]$. Заданный отрезок $[-4; 1]$ полностью входит в область определения функции.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{15 - 2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{15 - 2x - x^2}} \cdot (15 - 2x - x^2)' = \frac{-2 - 2x}{2\sqrt{15 - 2x - x^2}} = \frac{-(x+1)}{\sqrt{15 - 2x - x^2}}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow -(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1$.
Точка $x = -1$ принадлежит отрезку $[-4; 1]$.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$f(-4) = \sqrt{15 - 2(-4) - (-4)^2} = \sqrt{15 + 8 - 16} = \sqrt{7}$
$f(-1) = \sqrt{15 - 2(-1) - (-1)^2} = \sqrt{15 + 2 - 1} = \sqrt{16} = 4$
$f(1) = \sqrt{15 - 2(1) - (1)^2} = \sqrt{15 - 2 - 1} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Сравним полученные значения: $\sqrt{7}$, $4 = \sqrt{16}$ и $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно $4$.
Наименьшее значение функции на отрезке равно $\sqrt{7}$.

Ответ: наибольшее значение $4$, наименьшее значение $\sqrt{7}$.

2) $f(x) = (x - 3)^3(x + 1)^2$, $[-2; 4]$

Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = ((x-3)^3)'(x+1)^2 + (x-3)^3((x+1)^2)'$
$f'(x) = 3(x-3)^2 \cdot (x+1)^2 + (x-3)^3 \cdot 2(x+1)$
Вынесем общий множитель $(x-3)^2(x+1)$:
$f'(x) = (x-3)^2(x+1) [3(x+1) + 2(x-3)]$
$f'(x) = (x-3)^2(x+1) (3x + 3 + 2x - 6)$
$f'(x) = (x-3)^2(x+1)(5x - 3)$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$(x-3)^2(x+1)(5x - 3) = 0$
Критические точки: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$, $x_3 = \frac{3}{5}$.
Все три точки принадлежат отрезку $[-2; 4]$.

Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$f(-2) = (-2 - 3)^3(-2 + 1)^2 = (-5)^3(-1)^2 = -125 \cdot 1 = -125$
$f(-1) = (-1 - 3)^3(-1 + 1)^2 = (-4)^3(0)^2 = 0$
$f(\frac{3}{5}) = (\frac{3}{5} - 3)^3(\frac{3}{5} + 1)^2 = (\frac{3-15}{5})^3(\frac{3+5}{5})^2 = (-\frac{12}{5})^3(\frac{8}{5})^2 = -\frac{1728}{125} \cdot \frac{64}{25} = -\frac{110592}{3125} \approx -35.39$
$f(3) = (3 - 3)^3(3 + 1)^2 = 0^3 \cdot 4^2 = 0$
$f(4) = (4 - 3)^3(4 + 1)^2 = 1^3 \cdot 5^2 = 25$

Сравним полученные значения: $-125$, $0$, $-\frac{110592}{3125}$, $25$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно $25$.
Наименьшее значение функции на отрезке равно $-125$.

Ответ: наибольшее значение $25$, наименьшее значение $-125$.

3) $f(x) = 2\cos x - \sin 2x$, $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$

Найдем производную функции:
$f'(x) = (2\cos x - \sin 2x)' = -2\sin x - 2\cos 2x$
Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
$f'(x) = -2\sin x - 2(1 - 2\sin^2 x) = 4\sin^2 x - 2\sin x - 2$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$4\sin^2 x - 2\sin x - 2 = 0$
$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1; 1]$:
$2t^2 - t - 1 = 0$
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1 + 3}{4} = 1$
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к переменной $x$:
1) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ принадлежит точка $x = \frac{\pi}{2}$ (при $k=0$).
2) $\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k(-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ принадлежит точка $x = -\frac{\pi}{6}$ (при $k=0$).

Вычислим значения функции в критических точках $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{2}$ и на концах отрезка $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \pi$:
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2\cos(-\frac{\pi}{2}) - \sin(-\pi) = 2 \cdot 0 - 0 = 0$
$f(-\frac{\pi}{6}) = 2\cos(-\frac{\pi}{6}) - \sin(-\frac{\pi}{3}) = 2\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$f(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\pi) = 2 \cdot 0 - 0 = 0$
$f(\pi) = 2\cos(\pi) - \sin(2\pi) = 2(-1) - 0 = -2$

Сравним полученные значения: $0$, $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ и $-2$.
Так как $\sqrt{3} \approx 1.73$, то $\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.595$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшее значение функции на отрезке равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение $-2$.

311. Представьте число 80 в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

Пусть искомые два положительных числа — это $x$ и $y$.

По условию задачи, их сумма равна 80:

$x + y = 80$

Из этого уравнения мы можем выразить $y$ через $x$:

$y = 80 - x$

Так как оба числа положительные, то $x > 0$ и $y > 0$, откуда следует, что $80 - x > 0$, то есть $x < 80$. Таким образом, $0 < x < 80$.

Нам нужно найти наименьшее значение суммы их квадратов. Обозначим эту сумму как $S$:

$S = x^2 + y^2$

Подставим выражение для $y$ в формулу для $S$, чтобы получить функцию от одной переменной $x$:

$S(x) = x^2 + (80 - x)^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$S(x) = x^2 + (80^2 - 2 \cdot 80 \cdot x + x^2)$

$S(x) = x^2 + 6400 - 160x + x^2$

$S(x) = 2x^2 - 160x + 6400$

Мы получили квадратичную функцию. Ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 2) положителен. Следовательно, эта функция имеет точку минимума.

Минимальное значение квадратичной функции $f(x) = ax^2 + bx + c$ достигается в вершине параболы, абсцисса которой находится по формуле $x_0 = -b / (2a)$.

Для нашей функции $S(x) = 2x^2 - 160x + 6400$ имеем: $a = 2$, $b = -160$.

Найдем значение $x$, при котором сумма квадратов будет наименьшей:

$x = -(-160) / (2 \cdot 2) = 160 / 4 = 40$

Это значение удовлетворяет условию $0 < 40 < 80$.

Теперь найдем второе число $y$:

$y = 80 - x = 80 - 40 = 40$

Таким образом, число 80 нужно представить в виде суммы двух чисел: 40 и 40. Оба числа положительны, и сумма их квадратов $40^2 + 40^2 = 1600 + 1600 = 3200$ будет наименьшей.

Ответ: 40 и 40.

312. Найдите такое положительное число, что разность между квадратным корнем из этого числа и его удвоенным квадратом ($ \sqrt{x} - 2x^2 $) принимает наибольшее значение.

Пусть искомое положительное число равно $x$. По условию $x > 0$.

Квадратный корень из этого числа равен $\sqrt{x}$.
Удвоенный квадрат этого числа равен $2x^2$.
Разность между квадратным корнем и удвоенным квадратом можно выразить функцией $f(x)$:$f(x) = \sqrt{x} - 2x^2$

Нам нужно найти такое значение $x$, при котором функция $f(x)$ принимает наибольшее значение. Для этого найдем производную функции $f(x)$ и приравняем ее к нулю, чтобы найти критические точки.

$f'(x) = (\sqrt{x} - 2x^2)' = (x^{1/2} - 2x^2)' = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 2 \cdot 2x = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 4x$

Приравняем производную к нулю:$f'(x) = 0$$\frac{1}{2\sqrt{x}} - 4x = 0$$\frac{1}{2\sqrt{x}} = 4x$

Умножим обе части уравнения на $2\sqrt{x}$ (это возможно, так как $x > 0$):$1 = 8x\sqrt{x}$$1 = 8x^{3/2}$$x^{3/2} = \frac{1}{8}$

Возведем обе части в степень $\frac{2}{3}$:$x = \left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Мы нашли единственную критическую точку $x = \frac{1}{4}$. Теперь нужно проверить, является ли эта точка точкой максимума. Для этого найдем вторую производную.

$f''(x) = \left(\frac{1}{2}x^{-1/2} - 4x\right)' = \frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} - 4 = -\frac{1}{4}x^{-3/2} = -\frac{1}{4\sqrt{x^3}} - 4$

Найдем значение второй производной в точке $x = \frac{1}{4}$:$f''\left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{1}{4\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^3}} - 4 = -\frac{1}{4\sqrt{\frac{1}{64}}} - 4 = -\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{8}} - 4 = -\frac{1}{\frac{1}{2}} - 4 = -2 - 4 = -6$

Так как $f''\left(\frac{1}{4}\right) < 0$, точка $x = \frac{1}{4}$ является точкой максимума. Таким образом, искомое положительное число, при котором разность принимает наибольшее значение, равно $\frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

313. Какими должны быть стороны прямоугольника, периметр которого равен 40 см, чтобы его площадь принимала наибольшее значение?

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$.

Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(a + b)$. По условию, периметр равен 40 см, следовательно:

$2(a + b) = 40$

$a + b = 20$

Отсюда мы можем выразить одну сторону через другую, например, $b = 20 - a$.

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле $S = a \cdot b$. Подставим выражение для $b$ в формулу площади, чтобы получить функцию площади от одной переменной $a$:

$S(a) = a \cdot (20 - a) = 20a - a^2$

Мы получили квадратичную функцию $S(a) = -a^2 + 20a$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $a^2$ отрицательный (равен -1). Наибольшее значение такой функции достигается в вершине параболы.

Абсциссу вершины параболы $y = kx^2 + lx + m$ можно найти по формуле $x_0 = -l / (2k)$. В нашем случае $k = -1$, $l = 20$.

Найдем значение $a$, при котором площадь $S$ будет максимальной:

$a_0 = -20 / (2 \cdot (-1)) = -20 / (-2) = 10$ см.

Теперь найдем вторую сторону $b$:

$b = 20 - a = 20 - 10 = 10$ см.

Таким образом, чтобы площадь прямоугольника была наибольшей при заданном периметре, его стороны должны быть равны. В данном случае это квадрат со стороной 10 см.

Ответ: стороны прямоугольника должны быть равны 10 см и 10 см.

314. В полукруг радиуса $3\sqrt{5}$ см вписан прямоугольник наибольшего периметра. Найдите стороны прямоугольника.

Поместим центр полукруга в начало координат $(0, 0)$ так, чтобы его диаметр лежал на оси Ox. Тогда уравнение окружности, частью которой является полукруг, имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$, где радиус $R = 3\sqrt{5}$ см. Уравнение верхней дуги полукруга, где $y \ge 0$, будет $y = \sqrt{R^2 - x^2}$.

Пусть одна из сторон вписанного прямоугольника лежит на диаметре полукруга (оси Ox). Тогда вершины прямоугольника будут иметь координаты $(-x, 0)$, $(x, 0)$, $(x, y)$ и $(-x, y)$, где $x > 0$ и $y > 0$. Две верхние вершины $(x, y)$ и $(-x, y)$ лежат на дуге полукруга.

Длина сторон прямоугольника равны $a = 2x$ и $b = y$. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле:
$P = 2(a + b) = 2(2x + y)$

Так как вершина $(x, y)$ лежит на полукруге, ее координаты удовлетворяют уравнению $y = \sqrt{R^2 - x^2}$. Подставим значение радиуса $R = 3\sqrt{5}$:
$R^2 = (3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45$
Следовательно, $y = \sqrt{45 - x^2}$.

Теперь выразим периметр как функцию одной переменной $x$:
$P(x) = 2(2x + \sqrt{45 - x^2}) = 4x + 2\sqrt{45 - x^2}$
Областью определения для $x$ является интервал $(0, \sqrt{45})$.

Чтобы найти наибольшее значение периметра, необходимо найти производную функции $P(x)$ и приравнять ее к нулю:
$P'(x) = (4x + 2\sqrt{45 - x^2})' = 4 + 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{45 - x^2}} \cdot (-2x) = 4 - \frac{2x}{\sqrt{45 - x^2}}$

Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
$P'(x) = 0$
$4 - \frac{2x}{\sqrt{45 - x^2}} = 0$
$4 = \frac{2x}{\sqrt{45 - x^2}}$
$2\sqrt{45 - x^2} = x$

Возведем обе части уравнения в квадрат (учитывая, что $x > 0$):
$4(45 - x^2) = x^2$
$180 - 4x^2 = x^2$
$5x^2 = 180$
$x^2 = 36$
$x = 6$ (выбираем положительный корень, так как $x$ - это половина длины стороны).

Проверим, является ли точка $x=6$ точкой максимума. Для этого определим знак производной $P'(x)$ на интервалах $(0, 6)$ и $(6, \sqrt{45})$.
Если $0 < x < 6$, то $2x < 12$. $4(45-x^2) > 4(45-36) = 36$, значит $2\sqrt{45-x^2} > 6$. Таким образом $2\sqrt{45-x^2} > x$, что приводит к $4 > \frac{2x}{\sqrt{45-x^2}}$, и $P'(x) > 0$. Функция возрастает.
Если $6 < x < \sqrt{45}$, то $2x > 12$. $4(45-x^2) < 4(45-36) = 36$, значит $2\sqrt{45-x^2} < 6$. Таким образом $2\sqrt{45-x^2} < x$, что приводит к $4 < \frac{2x}{\sqrt{45-x^2}}$, и $P'(x) < 0$. Функция убывает.
Следовательно, при $x=6$ функция периметра $P(x)$ достигает своего наибольшего значения.

Теперь найдем стороны прямоугольника:
Одна сторона: $a = 2x = 2 \cdot 6 = 12$ см.
Другая сторона: $b = y = \sqrt{45 - x^2} = \sqrt{45 - 6^2} = \sqrt{45 - 36} = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 12 см и 3 см.

315. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $f(x) = x^2 - 8|x| + 15$ на промежутке $[-5; 1]$.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $f(x) = x^2 - 8|x| + 15$ на промежутке $[-5; 1]$, необходимо исследовать поведение функции на этом промежутке. Наличие модуля $|x|$ предполагает рассмотрение двух случаев.

Заметим, что $x^2 = |x|^2$, поэтому функцию можно представить в виде $f(x) = |x|^2 - 8|x| + 15$. Это парабола относительно $|x|$.

Раскроем модуль в зависимости от знака $x$ на заданном промежутке $[-5; 1]$:

1. При $x \in [-5; 0)$

На этом интервале $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$f(x) = x^2 - 8(-x) + 15 = x^2 + 8x + 15$.

Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину. Координата $x$ вершины параболы $ax^2+bx+c$ находится по формуле $x_0 = -b/(2a)$.
$x_0 = -8 / (2 \cdot 1) = -4$.

Точка $x = -4$ принадлежит промежутку $[-5; 0)$, поэтому она является точкой локального минимума на этом участке. Вычислим значение функции в этой точке:
$f(-4) = (-4)^2 + 8(-4) + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$.

2. При $x \in [0; 1]$

На этом промежутке $|x| = x$. Функция принимает вид:
$f(x) = x^2 - 8x + 15$.

Это также парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_0 = -(-8) / (2 \cdot 1) = 4$.

Точка $x = 4$ не принадлежит промежутку $[0; 1]$. На промежутке $[0; 1]$ функция $f(x) = x^2 - 8x + 15$ является убывающей, так как этот промежуток находится левее вершины параболы ($x_0 = 4$).

3. Сравнение значений

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на всем промежутке $[-5; 1]$ необходимо сравнить значения функции в критической точке $x = -4$ и на концах промежутка $x = -5$ и $x = 1$. Также следует учесть значение в точке $x=0$, где меняется определение функции.

Вычислим значения функции в этих точках:

• $f(-5) = (-5)^2 - 8|-5| + 15 = 25 - 8(5) + 15 = 25 - 40 + 15 = 0$.
• $f(-4) = (-4)^2 - 8|-4| + 15 = 16 - 8(4) + 15 = 16 - 32 + 15 = -1$.
• $f(0) = 0^2 - 8|0| + 15 = 0 - 0 + 15 = 15$.
• $f(1) = 1^2 - 8|1| + 15 = 1 - 8 + 15 = 8$.

Сравнивая полученные значения $\{0, -1, 15, 8\}$, делаем вывод:
Наибольшее значение функции на промежутке $[-5; 1]$ равно 15 (достигается при $x=0$).
Наименьшее значение функции на промежутке $[-5; 1]$ равно -1 (достигается при $x=-4$).

Ответ: Наибольшее значение функции равно 15, наименьшее значение функции равно -1.

316. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = x^3 - 2x^2$;

2) $f(x) = x^4 + 2x^2 - 3$;

3) $f(x) = (x - 3)^3 (x + 1)^2$;

4) $f(x) = \frac{8x}{x^2 + 16}$;

5) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x - 3}$;

6) $f(x) = \frac{x}{x^2 - 9}$.

1) $f(x) = x^3 - 2x^2$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения.

   Функция является многочленом, поэтому область определения — все действительные числа. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность.

   $f(-x) = (-x)^3 - 2(-x)^2 = -x^3 - 2x^2$. Так как $f(-x) \neq f(x)$ и $f(-x) \neq -f(x)$, функция не является ни четной, ни нечетной (функция общего вида).

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = 0^3 - 2(0)^2 = 0$. Точка (0, 0).

   • С осью Ox: $y=0 \Rightarrow x^3 - 2x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x-2) = 0$. Корни $x=0$ и $x=2$. Точки (0, 0) и (2, 0).

4. Асимптоты.

   Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой прямой. Наклонных асимптот вида $y=kx+b$ тоже нет, так как $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (x^2 - 2x) = \infty$.

5. Производная и критические точки.

   Найдем первую производную: $f'(x) = (x^3 - 2x^2)' = 3x^2 - 4x$.

   Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $3x^2 - 4x = 0 \Rightarrow x(3x-4)=0$. Критические точки: $x_1=0$, $x_2=4/3$.

6. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

   Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения:

   • $(-\infty; 0)$: $f'(-1) = 3(-1)^2 - 4(-1) = 7 > 0$, функция возрастает.

   • $(0; 4/3)$: $f'(1) = 3(1)^2 - 4(1) = -1 < 0$, функция убывает.

   • $(4/3; +\infty)$: $f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) = 4 > 0$, функция возрастает.

   В точке $x=0$ производная меняет знак с «+» на «−», следовательно, это точка локального максимума. $y_{max} = f(0) = 0$.

   В точке $x=4/3$ производная меняет знак с «−» на «+», следовательно, это точка локального минимума. $y_{min} = f(4/3) = (4/3)^3 - 2(4/3)^2 = 64/27 - 32/9 = -32/27$.

7. Вторая производная, выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

   Найдем вторую производную: $f''(x) = (3x^2 - 4x)' = 6x - 4$.

   Найдем точки, где $f''(x)=0$: $6x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2/3$.

   • $(-\infty; 2/3)$: $f''(0) = -4 < 0$, график функции выпуклый вверх (вогнутый).

   • $(2/3; +\infty)$: $f''(1) = 2 > 0$, график функции выпуклый вниз (выпуклый).

   Точка $x=2/3$ является точкой перегиба. $y(2/3) = (2/3)^3 - 2(2/3)^2 = 8/27 - 8/9 = -16/27$.

Построение графика.

На основе полученных данных строим график. График выходит из $-\infty$, возрастает до точки максимума (0, 0), затем убывает до точки минимума (4/3, -32/27), меняя направление выпуклости в точке перегиба (2/3, -16/27), после минимума возрастает, пересекает ось Ox в точке (2, 0) и уходит в $+\infty$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; 0] \cup [4/3; +\infty)$, убывает на $[0; 4/3]$. Точка максимума (0, 0), точка минимума (4/3, -32/27). График выпуклый вверх на $(-\infty; 2/3)$ и выпуклый вниз на $(2/3; +\infty)$. Точка перегиба (2/3, -16/27). График пересекает оси в точках (0, 0) и (2, 0).

2) $f(x) = x^4 + 2x^2 - 3$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = (-x)^4 + 2(-x)^2 - 3 = x^4 + 2x^2 - 3 = f(x)$. Функция четная, ее график симметричен относительно оси Oy.

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = -3$. Точка (0, -3).

   • С осью Ox: $y=0 \Rightarrow x^4 + 2x^2 - 3 = 0$. Пусть $t=x^2$, тогда $t^2+2t-3=0$. Корни $t_1=1, t_2=-3$. $x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$. $x^2=-3$ не имеет действительных корней. Точки (-1, 0) и (1, 0).

4. Асимптоты. Вертикальных и наклонных асимптот нет.

5. Производная и критические точки. $f'(x) = 4x^3 + 4x = 4x(x^2+1)$. $f'(x)=0 \Rightarrow 4x(x^2+1)=0 \Rightarrow x=0$.

6. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

   • $(-\infty; 0)$: $f'(-1) = -8 < 0$, функция убывает.

   • $(0; +\infty)$: $f'(1) = 8 > 0$, функция возрастает.

   В точке $x=0$ производная меняет знак с «−» на «+», это точка минимума. $y_{min} = f(0) = -3$.

7. Вторая производная, выпуклость, вогнутость и точки перегиба. $f''(x) = (4x^3 + 4x)' = 12x^2 + 4$. Так как $12x^2+4 > 0$ для всех $x$, график функции всегда выпуклый вниз (выпуклый). Точек перегиба нет.

Построение графика.

График симметричен относительно оси Oy. Он убывает из $+\infty$ до точки минимума (0, -3), пересекая ось Ox в точке (-1, 0). Затем график возрастает из точки минимума (0, -3), пересекая ось Ox в точке (1, 0) и уходит в $+\infty$. График напоминает букву W с сглаженным дном.

Ответ: Функция четная. Убывает на $(-\infty; 0]$, возрастает на $[0; +\infty)$. Точка минимума (0, -3). График всегда выпуклый вниз. Точек перегиба нет. Пересечение с осями: (-1, 0), (1, 0), (0, -3).

3) $f(x) = (x-3)^3(x+1)^2$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

2. Четность и нечетность. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = (-3)^3(1)^2 = -27$. Точка (0, -27).

   • С осью Ox: $y=0 \Rightarrow (x-3)^3(x+1)^2 = 0$. Корни $x=3$ (кратность 3) и $x=-1$ (кратность 2). Точки (3, 0) и (-1, 0). В точке (-1, 0) график касается оси, а в точке (3, 0) пересекает ее.

4. Асимптоты. Асимптот нет. $\lim_{x \to \infty} f(x) = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

5. Производная и критические точки. $f'(x) = 3(x-3)^2(x+1)^2 + (x-3)^3 \cdot 2(x+1) = (x-3)^2(x+1)[3(x+1)+2(x-3)] = (x-3)^2(x+1)(5x-3)$. Критические точки: $x=-1, x=3/5, x=3$.

6. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

   Знак $f'(x)$ совпадает со знаком $(x+1)(5x-3)$ (кроме точки $x=3$).

   • $(-\infty; -1)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

   • $(-1; 3/5)$: $f'(x) < 0$, убывает.

   • $(3/5; +\infty)$: $f'(x) > 0$, возрастает (включая точку $x=3$).

   $x=-1$ — точка максимума. $y_{max}=f(-1)=0$.

   $x=3/5$ — точка минимума. $y_{min}=f(3/5) = (3/5-15/5)^3(3/5+5/5)^2 = (-12/5)^3(8/5)^2 = -110592/3125 \approx -35.4$.

   $x=3$ не является точкой экстремума, так как производная не меняет знак.

7. Вторая производная и точки перегиба. $f''(x) = (5x^4 - 28x^3 + 30x^2 + 36x - 27)' = 20x^3 - 84x^2 + 60x + 36 = 4(5x^3 - 21x^2 + 15x + 9)$. Корни $f''(x)=0$: $x=3$ и $x = \frac{3 \pm 2\sqrt{6}}{5}$. $x_1 \approx -0.38$, $x_2 \approx 1.58$, $x_3=3$. Это точки перегиба.

Построение графика.

График идет из $-\infty$, возрастает до максимума в точке (-1, 0), затем убывает до минимума в точке (0.6, -35.4), пересекая ось Oy в (0, -27). После минимума функция возрастает, пересекая ось Ox в точке (3, 0), где имеется точка перегиба с горизонтальной касательной, и уходит в $+\infty$.

Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -1] \cup [3/5; +\infty)$, убывает на $[-1; 3/5]$. Точка максимума (-1, 0), точка минимума $(3/5, -110592/3125)$. Точки перегиба при $x=3$ и $x = (3 \pm 2\sqrt{6})/5$.

4) $f(x) = \frac{8x}{x^2+16}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. Знаменатель $x^2+16 > 0$ для всех $x$, поэтому $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = \frac{8(-x)}{(-x)^2+16} = -\frac{8x}{x^2+16} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат. $f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$. График проходит через начало координат (0, 0).

4. Асимптоты. Вертикальных асимптот нет. Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{8x}{x^2+16} = 0$, следовательно $y=0$ — горизонтальная асимптота.

5. Производная и критические точки. $f'(x) = \frac{8(x^2+16) - 8x(2x)}{(x^2+16)^2} = \frac{8x^2+128-16x^2}{(x^2+16)^2} = \frac{128-8x^2}{(x^2+16)^2} = \frac{8(16-x^2)}{(x^2+16)^2}$. $f'(x)=0 \Rightarrow 16-x^2=0 \Rightarrow x=\pm4$.

6. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

   Знак $f'(x)$ определяется знаком $16-x^2$.

   • $(-\infty; -4)$: $f'(x) < 0$, убывает.

   • $(-4; 4)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

   • $(4; +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

   $x=-4$ — точка минимума. $y_{min}=f(-4) = -32/32 = -1$.

   $x=4$ — точка максимума. $y_{max}=f(4) = 32/32 = 1$.

7. Вторая производная и точки перегиба. $f''(x) = \frac{-16x(48-x^2)}{(x^2+16)^3}$. $f''(x)=0 \Rightarrow x=0$ или $x^2=48 \Rightarrow x=\pm\sqrt{48}=\pm4\sqrt{3}$. Точки перегиба: $x=0, x=\pm4\sqrt{3}$.

Построение графика.

График симметричен относительно начала координат. При $x \to -\infty$ график приближается к оси Ox снизу. Функция убывает до точки минимума (-4, -1), затем возрастает, проходит через точку перегиба $(-4\sqrt{3}, -\sqrt{3}/2)$ и начало координат (0, 0), которое также является точкой перегиба. Далее возрастает до точки максимума (4, 1), проходит через точку перегиба $(4\sqrt{3}, \sqrt{3}/2)$, после чего убывает, асимптотически приближаясь к оси Ox сверху при $x \to +\infty$.

Ответ: Функция нечетная. Убывает на $(-\infty; -4] \cup [4; +\infty)$, возрастает на $[-4; 4]$. Точка минимума (-4, -1), точка максимума (4, 1). Горизонтальная асимптота $y=0$. Точки перегиба: $(0,0)$, $(\pm 4\sqrt{3}, \pm\sqrt{3}/2)$.

5) $f(x) = \frac{1}{x^2 - 2x - 3}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $x^2-2x-3 \neq 0 \Rightarrow (x-3)(x+1) \neq 0$. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат.

   • С осью Oy: $x=0 \Rightarrow y = -1/3$. Точка (0, -1/3).

   • С осью Ox: $y=0 \Rightarrow 1=0$, нет решений. График не пересекает ось Ox.

4. Асимптоты.

   • Вертикальные асимптоты: $x=-1$ и $x=3$.

   • Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^2-2x-3} = 0$, следовательно $y=0$.

5. Производная и критические точки. $f'(x) = -\frac{2x-2}{(x^2-2x-3)^2} = \frac{2(1-x)}{(x^2-2x-3)^2}$. $f'(x)=0 \Rightarrow 1-x=0 \Rightarrow x=1$.

6. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

   Знак $f'(x)$ определяется знаком $1-x$.

   • $(-\infty; -1) \cup (-1; 1)$: $f'(x) > 0$, возрастает.

   • $(1; 3) \cup (3; +\infty)$: $f'(x) < 0$, убывает.

   $x=1$ — точка максимума. $y_{max}=f(1) = 1/(1-2-3) = -1/4$.

7. Вторая производная и выпуклость. $f''(x) = \frac{2(3x^2-6x+7)}{(x^2-2x-3)^3}$. Числитель $3x^2-6x+7>0$ для всех $x$. Знак $f''(x)$ зависит от знака знаменателя $(x^2-2x-3)^3$.

   • $(-\infty; -1) \cup (3; +\infty)$: $f''(x)>0$, график выпуклый вниз.

   • $(-1; 3)$: $f''(x)<0$, график выпуклый вверх.

   Точек перегиба нет.

Построение графика.

График состоит из трех ветвей. Левая ветвь ($x<-1$): от $y=0$ до $+\infty$ вдоль асимптоты $x=-1$. Средняя ветвь ($-1<x<3$): от $-\infty$ вдоль $x=-1$ до максимума в (1, -1/4), затем до $-\infty$ вдоль $x=3$. Правая ветвь ($x>3$): от $+\infty$ вдоль $x=3$ до $y=0$.

Ответ: Область определения $x \neq -1, x \neq 3$. Вертикальные асимптоты $x=-1, x=3$. Горизонтальная асимптота $y=0$. Функция возрастает на $(-\infty, -1) \cup (-1, 1]$, убывает на $[1, 3) \cup (3, \infty)$. Точка максимума (1, -1/4). График выпуклый вниз на $(-\infty, -1) \cup (3, \infty)$, выпуклый вверх на $(-1, 3)$.

6) $f(x) = \frac{x}{x^2-9}$

Проведем полное исследование функции:

1. Область определения. $x^2-9 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 3$. $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Четность и нечетность. $f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2-9} = -f(x)$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат.

3. Точки пересечения с осями координат. $f(x)=0 \Leftrightarrow x=0$. График проходит через начало координат (0, 0).

4. Асимптоты.

   • Вертикальные асимптоты: $x=-3$ и $x=3$.

   • Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2-9} = 0$, следовательно $y=0$.

5. Производная и критические точки. $f'(x) = \frac{1(x^2-9)-x(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{-x^2-9}{(x^2-9)^2} = -\frac{x^2+9}{(x^2-9)^2}$. Так как $x^2+9>0$ и $(x^2-9)^2 \ge 0$, то $f'(x) < 0$ на всей области определения. Критических точек (где $f'(x)=0$) нет.

6. Промежутки возрастания, убывания и точки экстремума. Функция всегда убывает на каждом из интервалов своей области определения: $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, +\infty)$. Точек экстремума нет.

7. Вторая производная и точки перегиба. $f''(x) = \frac{2x(x^2+27)}{(x^2-9)^3}$. $f''(x)=0 \Rightarrow x=0$. Точка перегиба $x=0$.

   • $(-\infty; -3) \cup (0; 3)$: $f''(x)<0$, график выпуклый вверх.

   • $(-3; 0) \cup (3; +\infty)$: $f''(x)>0$, график выпуклый вниз.

Построение графика.

График состоит из трех убывающих ветвей и симметричен относительно начала координат. Левая ветвь ($x<-3$): от $y=0$ до $-\infty$ вдоль $x=-3$. Средняя ветвь ($-3<x<3$): от $+\infty$ вдоль $x=-3$, проходит через точку перегиба (0, 0) и уходит к $-\infty$ вдоль $x=3$. Правая ветвь ($x>3$): от $+\infty$ вдоль $x=3$ до $y=0$.

Ответ: Функция нечетная. Область определения $x \neq \pm 3$. Вертикальные асимптоты $x=-3, x=3$. Горизонтальная асимптота $y=0$. Функция убывает на всей области определения. Экстремумов нет. Точка перегиба (0, 0). График выпуклый вверх на $(-\infty, -3) \cup (0, 3)$, выпуклый вниз на $(-3, 0) \cup (3, \infty)$.