Страница 160 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Тема. Повторение и расширение сведений о функции

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 7x - 2$ на промежутке $[-2; 3];$

2) $y = x^2 - 2x - 3$ на промежутке $[-1; 2].$

1)

Дана функция $y = 7x - 2$ на промежутке $[-2; 3]$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$ с угловым коэффициентом $k=7$. Поскольку коэффициент $k > 0$, функция является строго возрастающей на всей своей области определения, включая и заданный промежуток $[-2; 3]$.

Для монотонно возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в его левой границе, а наибольшее – в правой.

Вычислим значения функции на концах промежутка:

Наименьшее значение при $x = -2$:

$y_{наим} = y(-2) = 7 \cdot (-2) - 2 = -14 - 2 = -16$.

Наибольшее значение при $x = 3$:

$y_{наиб} = y(3) = 7 \cdot 3 - 2 = 21 - 2 = 19$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -16, наибольшее значение равно 19.

2)

Дана функция $y = x^2 - 2x - 3$ на промежутке $[-1; 2]$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при старшем члене $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что в своей вершине функция достигает наименьшего значения.

Найдем координату $x$ вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.

Точка $x_0 = 1$ принадлежит заданному промежутку $[-1; 2]$, так как $-1 \le 1 \le 2$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке будет достигаться в вершине параболы.

Найдем наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

Наибольшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в точке локального максимума, либо на одном из концов отрезка. Так как у нашей параболы нет локальных максимумов, наибольшее значение будет на одном из концов промежутка. Вычислим значения функции в точках $x = -1$ и $x = 2$:

$y(-1) = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.

$y(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$.

Сравнивая полученные значения ($0$ и $-3$), видим, что наибольшее из них равно $0$.

$y_{наиб} = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4, наибольшее значение равно 0.

2. Исследуйте на чётность функцию:

1) $y = x^4 - 2x^2 + 3$;

2) $y = x^5 - 3x^3 + 2$;

3) $y = \frac{2x}{5-x^6}$;

4) $y = \frac{x+2}{x^2+2x}$.

Для исследования функции $f(x)$ на чётность необходимо выполнить два шага:

1. Проверить, является ли область определения функции $D(f)$ симметричной относительно начала координат. То есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$. Если область определения несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.
2. Если область определения симметрична, нужно найти значение $f(-x)$ и сравнить его с $f(x)$:
   • Если $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция чётная.
   • Если $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения, то функция нечётная.
   • Если не выполняется ни одно из этих равенств (хотя бы для одного значения $x$), то функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

Рассмотрим функцию $y = x^4 - 2x^2 + 3$. Обозначим $f(x) = x^4 - 2x^2 + 3$.

1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 + 3 = x^4 - 2x^2 + 3$.

Сравним $f(-x)$ и $f(x)$:

$f(-x) = x^4 - 2x^2 + 3 = f(x)$.

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: функция чётная.

Рассмотрим функцию $y = x^5 - 3x^3 + 2$. Обозначим $f(x) = x^5 - 3x^3 + 2$.

1. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен. Область симметрична.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = (-x)^5 - 3(-x)^3 + 2 = -x^5 - 3(-x^3) + 2 = -x^5 + 3x^3 + 2$.

Сравним $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$:

$f(x) = x^5 - 3x^3 + 2$. Очевидно, $f(-x) \neq f(x)$.

$-f(x) = -(x^5 - 3x^3 + 2) = -x^5 + 3x^3 - 2$.

Сравнивая $f(-x) = -x^5 + 3x^3 + 2$ и $-f(x) = -x^5 + 3x^3 - 2$, видим, что $f(-x) \neq -f(x)$ из-за свободного члена ($2 \neq -2$).

Так как не выполняется ни условие чётности, ни условие нечётности, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

Рассмотрим функцию $y = \frac{2x}{5 - x^6}$. Обозначим $f(x) = \frac{2x}{5 - x^6}$.

1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $5 - x^6 \neq 0 \implies x^6 \neq 5 \implies x \neq \pm \sqrt[6]{5}$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -\sqrt[6]{5}) \cup (-\sqrt[6]{5}; \sqrt[6]{5}) \cup (\sqrt[6]{5}; +\infty)$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Найдём $f(-x)$:

$f(-x) = \frac{2(-x)}{5 - (-x)^6} = \frac{-2x}{5 - x^6}$.

Сравним $f(-x)$ с $-f(x)$:

$-f(x) = -\left(\frac{2x}{5 - x^6}\right) = \frac{-2x}{5 - x^6}$.

Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: функция нечётная.

Рассмотрим функцию $y = \frac{x + 2}{x^2 + 2x}$. Обозначим $f(x) = \frac{x + 2}{x^2 + 2x}$.

1. Найдём область определения. Знаменатель не должен быть равен нулю: $x^2 + 2x \neq 0 \implies x(x + 2) \neq 0$.

Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq -2$.

Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 0) \cup (0; +\infty)$.

Эта область определения не является симметричной относительно начала координат. Например, точка $x=2$ входит в область определения, а точка $x=-2$ — не входит.

Поскольку область определения функции несимметрична, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: функция ни чётная, ни нечётная.

3. Найдите функцию, обратную к функции $y = 9 - 3x$.

Для нахождения функции, обратной к данной, необходимо сначала выразить переменную $x$ через $y$, а затем в полученном выражении поменять переменные $x$ и $y$ местами.

Исходная функция:
$y = 9 - 3x$

1. Выразим $x$ через $y$.
Перенесем слагаемое, содержащее $x$, в левую часть уравнения, а $y$ — в правую:
$3x = 9 - y$
Теперь разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{9 - y}{3}$

2. Поменяем местами $x$ и $y$.
Заменим в полученном уравнении $x$ на $y$ и $y$ на $x$:
$y = \frac{9 - x}{3}$
Это и есть искомая обратная функция. Ее также можно записать в виде $y = 3 - \frac{1}{3}x$.

Ответ: $y = \frac{9 - x}{3}$

4. Постройте график функции $y = \sqrt{4 + 2x}$.

Для построения графика функции $y = \sqrt{4+2x}$ сначала найдем ее область определения. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, поэтому:

$4 + 2x \ge 0$

$2x \ge -4$

$x \ge -2$

Таким образом, область определения функции — $D(y) = [-2, +\infty)$. Это означает, что график будет расположен в полуплоскости $x \ge -2$.

Область значений функции — $E(y) = [0, +\infty)$, так как арифметический квадратный корень всегда дает неотрицательный результат ($y \ge 0$).

Далее, найдем координаты нескольких точек, принадлежащих графику, чтобы точно его построить. Для удобства вычислений будем подбирать такие значения $x$, чтобы подкоренное выражение $4+2x$ было полным квадратом.

• При $x = -2$: $y = \sqrt{4 + 2(-2)} = \sqrt{0} = 0$. Точка $(-2, 0)$ — это начальная точка графика (вершина).
• При $x = 0$: $y = \sqrt{4 + 2(0)} = \sqrt{4} = 2$. Точка $(0, 2)$ — это точка пересечения с осью OY.
• При $x = 2.5$: $y = \sqrt{4 + 2(2.5)} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$. Точка $(2.5, 3)$.
• При $x = 6$: $y = \sqrt{4 + 2(6)} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$. Точка $(6, 4)$.

Сведем полученные данные в таблицу:

Для построения графика на координатной плоскости необходимо отметить найденные точки $(-2, 0)$, $(0, 2)$, $(2.5, 3)$, $(6, 4)$ и соединить их плавной возрастающей кривой. График представляет собой ветвь параболы, которая "лежит на боку" и направлена вправо.

Ответ: График функции $y=\sqrt{4+2x}$ представляет собой ветвь параболы, выходящую из точки $(-2,0)$, пересекающую ось ординат в точке $(0,2)$ и возрастающую на всей своей области определения $x \ge -2$.

5. Являются ли равносильными уравнения:

1) $x^2 = 49$ и $x^2 + \frac{1}{x+8} = \frac{1}{x+8} + 49;$

2) $x^2 = 49$ и $x^2 + \frac{1}{x+7} = \frac{1}{x+7} + 49?$

Два уравнения называются равносильными (эквивалентными), если множества их корней совпадают. Чтобы проверить равносильность, нужно найти корни каждого уравнения и сравнить полученные множества.

1) $x^2 = 49$ и $x^2 + \frac{1}{x+8} = \frac{1}{x+8} + 49$

Найдем корни первого уравнения:
$x^2 = 49$
$x_1 = 7$, $x_2 = -7$.
Множество корней первого уравнения: $\{-7, 7\}$.

Теперь решим второе уравнение:
$x^2 + \frac{1}{x+8} = \frac{1}{x+8} + 49$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $x+8 \neq 0$, следовательно, $x \neq -8$.
На ОДЗ мы можем вычесть из обеих частей уравнения слагаемое $\frac{1}{x+8}$, в результате чего получим:
$x^2 = 49$
Корни этого уравнения, как мы уже знаем, $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ.
Для $x=7$: $7 \neq -8$. Корень подходит.
Для $x=-7$: $-7 \neq -8$. Корень подходит.
Таким образом, множество корней второго уравнения также равно $\{-7, 7\}$.

Поскольку множества корней обоих уравнений совпадают, уравнения являются равносильными.
Ответ: да, являются.

2) $x^2 = 49$ и $x^2 + \frac{1}{x+7} = \frac{1}{x+7} + 49$

Множество корней первого уравнения $x^2 = 49$ нам уже известно: $\{-7, 7\}$.

Решим второе уравнение:
$x^2 + \frac{1}{x+7} = \frac{1}{x+7} + 49$
ОДЗ для этого уравнения: $x+7 \neq 0$, следовательно, $x \neq -7$.
Упростим уравнение, вычитая $\frac{1}{x+7}$ из обеих частей (в пределах ОДЗ):
$x^2 = 49$
Потенциальные корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Проверим, входят ли эти корни в ОДЗ.
Для $x=7$: $7 \neq -7$. Корень подходит.
Для $x=-7$: условие $x \neq -7$ не выполняется. Следовательно, $x=-7$ является посторонним корнем и не входит в решение второго уравнения.
Таким образом, множество корней второго уравнения состоит из одного элемента: $\{7\}$.

Множество корней первого уравнения $\{-7, 7\}$, а второго — $\{7\}$. Так как множества корней не совпадают, эти уравнения не являются равносильными.
Ответ: нет, не являются.

6. На рисунке 31 изображена часть графика чётной функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-6; 6]$. Достройте график этой функции и найдите её наибольшее и наименьшее значения на промежутке $[-6; 6]$.

Рис. 31

Достройте график этой функции

По условию, функция $y = f(x)$ является чётной. График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси $y$). Это означает, что для любого $x$ из области определения функции $[-6; 6]$ выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Нам дана часть графика на промежутке $x \in [-6; 0]$. Чтобы достроить график для $x \in [0; 6]$, мы должны симметрично отразить данную часть графика относительно оси $y$.

Для этого определим координаты ключевых точек на правой части графика, которые будут симметричны точкам на известной левой части:

• Точке $(-6; 3)$ соответствует симметричная точка $(6; 3)$.
• Точке локального максимума $(-5; 4)$ соответствует симметричная точка локального максимума $(5; 4)$.
• Точке пересечения с осью абсцисс $(-3; 0)$ соответствует симметричная точка $(3; 0)$.
• Точке локального минимума $(-2; -1)$ соответствует симметричная точка локального минимума $(2; -1)$.
• Точка пересечения с осью ординат $(0; 1)$ лежит на оси симметрии и остаётся на своём месте.

Соединив эти новые точки плавной кривой, мы получим полный график функции на всём промежутке $[-6; 6]$.

Найдите её наибольшее и наименьшее значения на промежутке [-6; 6]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции проанализируем построенный полный график.

Наибольшее значение функции — это максимальная ордината (значение $y$) на графике. Из графика видно, что самые высокие точки имеют координаты $(-5; 4)$ и $(5; 4)$. Таким образом, наибольшее значение функции на промежутке $[-6; 6]$ равно 4.

Наименьшее значение функции — это минимальная ордината ($y$) на графике. Из графика видно, что самые низкие точки имеют координаты $(-2; -1)$ и $(2; -1)$. Таким образом, наименьшее значение функции на промежутке $[-6; 6]$ равно -1.

Ответ: Наибольшее значение функции на промежутке $[-6; 6]$ равно 4; наименьшее значение функции на том же промежутке равно -1.