Страница 157 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

303. Найдите точки максимума и минимума функции:

1) $f(x) = 2x^{10};$

2) $f(x) = 14x - x^2;$

3) $f(x) = x^3 - 48x + 21;$

4) $f(x) = x^4 + 12x^3 + 16x^2 - 27.$

304. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^6 + 3x^5 - 14$;

2) $f(x) = (x+3)^2(x-1)^2$.

1) $f(x) = x^6 + 3x^5 - 14$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания, а также точек экстремума, необходимо исследовать первую производную функции.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$, так как функция является многочленом.

2. Найдем производную функции:

$f'(x) = (x^6 + 3x^5 - 14)' = 6x^5 + 15x^4$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$6x^5 + 15x^4 = 0$

$3x^4(2x + 5) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2.5$. Это стационарные точки.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty, -2.5)$, $(-2.5, 0)$ и $(0, +\infty)$. Для этого выберем по одной точке из каждого интервала и подставим в выражение для производной.

• На интервале $(-\infty, -2.5)$, возьмем $x = -3$: $f'(-3) = 3(-3)^4(2(-3) + 5) = 3 \cdot 81 \cdot (-1) < 0$. Следовательно, функция убывает на $(-\infty, -2.5]$.
• На интервале $(-2.5, 0)$, возьмем $x = -1$: $f'(-1) = 3(-1)^4(2(-1) + 5) = 3 \cdot 1 \cdot 3 > 0$. Следовательно, функция возрастает на $[-2.5, 0]$.
• На интервале $(0, +\infty)$, возьмем $x = 1$: $f'(1) = 3(1)^4(2(1) + 5) = 3 \cdot 1 \cdot 7 > 0$. Следовательно, функция возрастает на $[0, +\infty)$.

Объединяя интервалы возрастания, получаем, что функция возрастает на $[-2.5, +\infty)$.

5. Определим точки экстремума.

В точке $x = -2.5$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума.

Значение функции в точке минимума:

$f_{min} = f(-2.5) = (-2.5)^6 + 3(-2.5)^5 - 14 = (-\frac{5}{2})^6 + 3(-\frac{5}{2})^5 - 14 = \frac{15625}{64} - \frac{9375}{32} - 14 = \frac{15625 - 18750 - 896}{64} = -\frac{4021}{64}$.

В точке $x = 0$ производная не меняет знак (остается положительной), поэтому $x = 0$ не является точкой экстремума.

Ответ: промежуток возрастания: $[-2.5, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, -2.5]$; точка минимума $x_{min} = -2.5$.

2) $f(x) = (x + 3)^2(x - 1)^2$

Проведем исследование функции аналогично предыдущему пункту.

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции. Удобно использовать правило производной произведения $f'(x) = u'v + uv'$:

$f'(x) = ((x+3)^2)'(x-1)^2 + (x+3)^2((x-1)^2)'$

$f'(x) = 2(x+3)(x-1)^2 + 2(x-1)(x+3)^2$

Вынесем общий множитель $2(x+3)(x-1)$ за скобки:

$f'(x) = 2(x+3)(x-1) \cdot ((x-1) + (x+3)) = 2(x+3)(x-1)(2x+2) = 4(x+3)(x+1)(x-1)$.

3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$4(x+3)(x+1)(x-1) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = -3$, $x_2 = -1$, $x_3 = 1$. Это стационарные точки.

4. Исследуем знак производной на интервалах, на которые критические точки разбивают область определения: $(-\infty, -3)$, $(-3, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.

• На интервале $(-\infty, -3)$, возьмем $x = -4$: $f'(-4) = 4(-1)(-3)(-5) < 0$. Функция убывает на $(-\infty, -3]$.
• На интервале $(-3, -1)$, возьмем $x = -2$: $f'(-2) = 4(1)(-1)(-3) > 0$. Функция возрастает на $[-3, -1]$.
• На интервале $(-1, 1)$, возьмем $x = 0$: $f'(0) = 4(3)(1)(-1) < 0$. Функция убывает на $[-1, 1]$.
• На интервале $(1, +\infty)$, возьмем $x = 2$: $f'(2) = 4(5)(3)(1) > 0$. Функция возрастает на $[1, +\infty)$.

5. Определим точки экстремума и значения функции в них.

• В точке $x = -3$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. $f_{min} = f(-3) = (-3+3)^2(-3-1)^2 = 0$.
• В точке $x = -1$ производная меняет знак с «+» на «–», значит, это точка локального максимума. $f_{max} = f(-1) = (-1+3)^2(-1-1)^2 = 2^2 \cdot (-2)^2 = 16$.
• В точке $x = 1$ производная меняет знак с «–» на «+», значит, это точка локального минимума. $f_{min} = f(1) = (1+3)^2(1-1)^2 = 0$.

Ответ: промежутки возрастания: $[-3, -1]$ и $[1, +\infty)$; промежутки убывания: $(-\infty, -3]$ и $[-1, 1]$; точки минимума $x_{min} = -3$, $x_{min} = 1$; точка максимума $x_{max} = -1$.

305. Определите, имеет ли данная функция точки экстремума:

1) $f(x) = 5x^9$;

2) $f(x) = \sqrt[8]{x^3}$;

3) $f(x) = \sqrt[5]{x^4}$;

4) $f(x) = -x - \cos x$.

Для определения наличия точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять к нулю и найти критические точки. Затем следует исследовать знак производной в окрестности этих точек. Если производная меняет знак, то в данной точке есть экстремум. Экстремумы также могут существовать в точках, где производная не определена, но сама функция определена.

1) $f(x) = 5x^9$

Найдем производную функции: $f'(x) = (5x^9)' = 5 \cdot 9x^8 = 45x^8$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$45x^8 = 0$

$x = 0$

Производная $f'(x) = 45x^8$ определена на всей числовой оси. Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x=0$.

Определим знак производной слева и справа от критической точки. Поскольку показатель степени 8 является четным числом, $x^8 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, $f'(x) = 45x^8 \ge 0$ при всех значениях $x$. Производная не меняет знак при переходе через точку $x=0$. Это означает, что функция монотонно возрастает на всей области определения и не имеет точек экстремума.

Ответ: функция не имеет точек экстремума.

2) $f(x) = \sqrt[8]{x^3}$

Перепишем функцию в виде $f(x) = x^{3/8}$.

Область определения функции: так как корень имеет четный показатель (8), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^3 \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0; +\infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (x^{3/8})' = \frac{3}{8}x^{3/8 - 1} = \frac{3}{8}x^{-5/8} = \frac{3}{8\sqrt[8]{x^5}}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $\frac{3}{8\sqrt[8]{x^5}} = 0$, не имеет решений, так как числитель не равен нулю. Однако производная не определена при $x=0$. Так как точка $x=0$ входит в область определения функции, она является критической точкой.

Исследуем поведение функции. На всей области определения $(0; +\infty)$ производная $f'(x) = \frac{3}{8\sqrt[8]{x^5}}$ положительна, так как $x > 0$. Это означает, что функция строго возрастает на всей своей области определения $[0; +\infty)$. Точка $x=0$ является левой границей области определения, и для любой точки $x > 0$ выполняется $f(x) > f(0)$. Следовательно, в точке $x=0$ функция имеет минимум (локальный и глобальный).

Ответ: функция имеет точку экстремума (минимум в точке $x=0$).

3) $f(x) = \sqrt[5]{x^4}$

Перепишем функцию в виде $f(x) = x^{4/5}$.

Область определения функции: так как корень имеет нечетный показатель (5), функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (x^{4/5})' = \frac{4}{5}x^{4/5 - 1} = \frac{4}{5}x^{-1/5} = \frac{4}{5\sqrt[5]{x}}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений. Производная не определена при $x=0$. Так как точка $x=0$ входит в область определения функции, она является критической точкой.

Определим знак производной слева и справа от $x=0$.

• При $x < 0$, $\sqrt[5]{x} < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает на интервале $(-\infty; 0)$.
• При $x > 0$, $\sqrt[5]{x} > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. Функция возрастает на интервале $(0; +\infty)$.

Поскольку при переходе через точку $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», точка $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: функция имеет точку экстремума (минимум в точке $x=0$).

4) $f(x) = -x - \cos x$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (-x - \cos x)' = -1 - (-\sin x) = \sin x - 1$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1$.

Решениями этого уравнения являются точки $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Исследуем знак производной. Мы знаем, что область значений синуса – это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$ для любого $x$.

Следовательно, производная $f'(x) = \sin x - 1 \le 1 - 1 = 0$. Производная всегда неположительна ($f'(x) \le 0$). Она обращается в ноль в критических точках и отрицательна во всех остальных. Знак производной не меняется при переходе через критические точки. Это означает, что функция монотонно убывает на всей числовой прямой и не имеет точек экстремума.

Ответ: функция не имеет точек экстремума.

306. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{2x - 3}{x + 4}$

2) $f(x) = \frac{x^2 - 5}{x - 3}$

3) $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 4}$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 1}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x + 4 \neq 0$, откуда $x \neq -4$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(2x-3)'(x+4) - (2x-3)(x+4)'}{(x+4)^2} = \frac{2(x+4) - (2x-3) \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{2x+8-2x+3}{(x+4)^2} = \frac{11}{(x+4)^2}$.

3. Найдем критические точки. Для этого решим уравнение $f'(x) = 0$ и найдем точки, где производная не существует.
Уравнение $\frac{11}{(x+4)^2} = 0$ не имеет решений, так как числитель не равен нулю.
Производная не существует при $x = -4$, но эта точка не входит в область определения функции.
Следовательно, критических точек нет.

4. Определим знаки производной на интервалах области определения.
Числитель производной $11 > 0$. Знаменатель $(x+4)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения.
Таким образом, $f'(x) > 0$ на всей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; -4)$ и $(-4; +\infty)$.

5. Сделаем выводы о промежутках возрастания и убывания и точках экстремума.
Функция возрастает на тех интервалах, где $f'(x) > 0$. В данном случае это $(-\infty; -4)$ и $(-4; +\infty)$.
Промежутков убывания нет.
Так как производная не меняет знак и нет критических точек, точек экстремума у функции нет.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty; -4)$ и $(-4; +\infty)$; промежутков убывания нет; точек экстремума нет.

1. Область определения функции: $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = \frac{(x^2-5)'(x-3) - (x^2-5)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{2x(x-3) - (x^2-5) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{2x^2-6x-x^2+5}{(x-3)^2} = \frac{x^2-6x+5}{(x-3)^2}$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2-6x+5}{(x-3)^2} = 0 \Rightarrow x^2-6x+5 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$, так как знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен.
Точки $x=1$, $x=5$ и точка разрыва $x=3$ разбивают числовую прямую на интервалы:
- При $x \in (-\infty; 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x \in (1; 3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (3; 5)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (5; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=1$ производная меняет знак с `+` на `-`, значит, это точка максимума. $x_{max} = 1$.
В точке $x=5$ производная меняет знак с `-` на `+`, значит, это точка минимума. $x_{min} = 5$.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty; 1]$ и $[5; +\infty)$; промежутки убывания: $[1; 3)$ и $(3; 5]$; точка максимума $x_{max} = 1$; точка минимума $x_{min} = 5$.

1. Область определения функции: знаменатель $x^2+4$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+4 \ge 4$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = \frac{(x^3)'(x^2+4) - x^3(x^2+4)'}{(x^2+4)^2} = \frac{3x^2(x^2+4) - x^3(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{3x^4+12x^2-2x^4}{(x^2+4)^2} = \frac{x^4+12x^2}{(x^2+4)^2}$.

3. Найдем критические точки: $f'(x) = 0$.
$\frac{x^4+12x^2}{(x^2+4)^2} = 0 \Rightarrow x^4+12x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2+12) = 0$.
Отсюда $x^2=0$ или $x^2+12=0$. Уравнение $x^2=-12$ не имеет действительных корней. Единственная критическая точка $x=0$.

4. Определим знаки производной. $f'(x) = \frac{x^2(x^2+12)}{(x^2+4)^2}$.
Выражения $x^2$, $(x^2+12)$ и $(x^2+4)^2$ всегда неотрицательны. Таким образом, $f'(x) \ge 0$ для всех $x \in D(f)$. Производная равна нулю только при $x=0$.

5. Так как производная $f'(x) \ge 0$ на всей области определения и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является возрастающей на всей числовой прямой.
Поскольку производная не меняет знак в точке $x=0$, экстремума в этой точке нет.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty; +\infty)$; промежутков убывания нет; точек экстремума нет.

1. Область определения функции: $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = \frac{(x^2-8x)'(x+1) - (x^2-8x)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{(2x-8)(x+1) - (x^2-8x) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+2x-8x-8-x^2+8x}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2} = 0 \Rightarrow x^2+2x-8=0$.
Корни квадратного уравнения: $x_1 = \frac{-2-\sqrt{4-4(-8)}}{2} = \frac{-2-6}{2}=-4$ и $x_2 = \frac{-2+\sqrt{4-4(-8)}}{2} = \frac{-2+6}{2}=2$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$, так как знаменатель $(x+1)^2$ всегда положителен.
Точки $x=-4$, $x=2$ и точка разрыва $x=-1$ разбивают числовую прямую на интервалы:
- При $x \in (-\infty; -4)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x \in (-4; -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (-1; 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=-4$ производная меняет знак с `+` на `-`, значит, это точка максимума. $x_{max} = -4$.
В точке $x=2$ производная меняет знак с `-` на `+`, значит, это точка минимума. $x_{min} = 2$.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty; -4]$ и $[2; +\infty)$; промежутки убывания: $[-4; -1)$ и $(-1; 2]$; точка максимума $x_{max} = -4$; точка минимума $x_{min} = 2$.

307. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2\sqrt{2-x};$

2) $f(x) = \sin \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{4}x.$

1) $f(x) = x^2\sqrt{2-x}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.
Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty, 2]$.

2. Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x^2)'\sqrt{2-x} + x^2(\sqrt{2-x})'$
$f'(x) = 2x\sqrt{2-x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (-1) = 2x\sqrt{2-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{2-x}}$
Приведем к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{2x\sqrt{2-x} \cdot 2\sqrt{2-x} - x^2}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4x(2-x) - x^2}{2\sqrt{2-x}} = \frac{8x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{2-x}} = \frac{8x - 5x^2}{2\sqrt{2-x}}$
$f'(x) = \frac{x(8 - 5x)}{2\sqrt{2-x}}$

3. Найдем критические точки функции. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Производная равна нулю, когда числитель равен нулю:
$x(8 - 5x) = 0 \implies x_1 = 0$ или $8 - 5x = 0 \implies x_2 = \frac{8}{5} = 1.6$.
Обе точки принадлежат области определения $D(f)$.
Производная не существует, когда знаменатель равен нулю:
$2\sqrt{2-x} = 0 \implies 2-x = 0 \implies x_3 = 2$.
Эта точка является концом области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-\infty, 0)$, $(0, 1.6)$, $(1.6, 2)$.
Знаменатель $2\sqrt{2-x}$ всегда положителен при $x < 2$, поэтому знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $x(8-5x)$.

• При $x \in (-\infty, 0)$: возьмем $x = -1$. $f'(-1) = \frac{(-1)(8+5)}{+} < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0, 1.6)$: возьмем $x = 1$. $f'(1) = \frac{(1)(8-5)}{+} > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1.6, 2)$: возьмем $x = 1.8$. $f'(1.8) = \frac{(1.8)(8-9)}{+} < 0$. Функция убывает.

5. Сделаем выводы о промежутках монотонности и точках экстремума.

• Функция возрастает на промежутке $[0, 1.6]$.
• Функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1.6, 2]$.
• В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, $x=0$ — точка минимума.
• В точке $x=1.6$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, $x=1.6$ — точка максимума.
• Точка $x=2$ является граничной точкой области определения, и так как функция убывает на $[1.6, 2]$, то $x=2$ является точкой локального минимума.

Точки экстремума: $x_{min} = 0$, $x_{max} = \frac{8}{5}$, $x_{min} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; \frac{8}{5}]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[\frac{8}{5}; 2]$. Точки экстремума: $x_{min}=0$, $x_{max}=\frac{8}{5}$, $x_{min}=2$.

2) $f(x) = \sin\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{4}x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin\frac{x}{2})' - (\frac{\sqrt{3}}{4}x)' = \cos\frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2})' - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$
$\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
$\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{x}{2} = \pm\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{2} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \pm\frac{\pi}{3} + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

4. Определим знаки производной.
Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:
$\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} > 0 \implies \cos\frac{x}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{3} + 4\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 4\pi k$.
На этих интервалах функция возрастает.

Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:
$\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} < 0 \implies \cos\frac{x}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < \frac{x}{2} < 2\pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{3} + 4\pi k < x < \frac{11\pi}{3} + 4\pi k$.
На этих интервалах функция убывает.

5. Определим точки экстремума.

• В точках $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точки минимума.
• В точках $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точки максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + 4\pi k; \frac{\pi}{3} + 4\pi k]$, убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 4\pi k; \frac{11\pi}{3} + 4\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$, точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

308. Найдите, при каких значениях $a$ функция

$f(x) = \sin^2 x - (3a + 2)x$

1) не имеет критических точек;

2) не имеет точек экстремума.

Дана функция $f(x) = \sin^2 x - (3a + 2)x$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Функция дифференцируема на всей области определения.

Критические точки функции — это точки, в которых ее производная равна нулю или не существует. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin^2 x)' - ((3a + 2)x)' = 2\sin x \cos x - (3a + 2) = \sin(2x) - (3a + 2)$.

Поскольку производная существует для всех $x$, критические точки — это корни уравнения $f'(x) = 0$.

$\sin(2x) - (3a + 2) = 0$

$\sin(2x) = 3a + 2$

Функция не имеет критических точек, если уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений. Уравнение $\sin(2x) = 3a + 2$ не имеет решений, если значение выражения в правой части выходит за пределы области значений функции синус, которая равна $[-1, 1]$.

Следовательно, должно выполняться условие:

$|3a + 2| > 1$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$3a + 2 > 1$ или $3a + 2 < -1$

Решим первое неравенство:

$3a > 1 - 2$

$3a > -1$

$a > -1/3$

Решим второе неравенство:

$3a < -1 - 2$

$3a < -3$

$a < -1$

Таким образом, функция не имеет критических точек при $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/3, +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/3, +\infty)$.

Точки экстремума могут существовать только там, где есть критические точки. Точка экстремума — это критическая точка, при переходе через которую производная меняет знак.

Из пункта 1) следует, что если $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/3, +\infty)$, то критических точек нет, а значит, нет и точек экстремума.

Рассмотрим случай, когда критические точки существуют. Это происходит, когда уравнение $\sin(2x) = 3a + 2$ имеет решения, то есть при $|3a + 2| \le 1$.

$-1 \le 3a + 2 \le 1$

$-3 \le 3a \le -1$

$-1 \le a \le -1/3$

Для того чтобы в критических точках не было экстремума, необходимо, чтобы производная $f'(x) = \sin(2x) - (3a + 2)$ не меняла свой знак при прохождении через эти точки. Это возможно только в том случае, если график функции $y = \sin(2x)$ касается прямой $y = 3a + 2$, но не пересекает ее. Такое касание происходит в точках максимума и минимума функции синус, то есть когда $3a + 2 = 1$ или $3a + 2 = -1$.

Случай 1: $3a + 2 = 1$

$3a = -1$, откуда $a = -1/3$.

В этом случае производная $f'(x) = \sin(2x) - 1$. Поскольку $\sin(2x) \le 1$ для всех $x$, то $f'(x) \le 0$ для всех $x$. Производная равна нулю в точках, где $\sin(2x) = 1$, но не меняет свой знак (остается неположительной). Следовательно, в этих точках нет экстремума (это точки перегиба), и функция является невозрастающей. Таким образом, при $a = -1/3$ функция не имеет точек экстремума.

Случай 2: $3a + 2 = -1$

$3a = -3$, откуда $a = -1$.

В этом случае производная $f'(x) = \sin(2x) - (-1) = \sin(2x) + 1$. Поскольку $\sin(2x) \ge -1$ для всех $x$, то $f'(x) \ge 0$ для всех $x$. Производная равна нулю в точках, где $\sin(2x) = -1$, но не меняет свой знак (остается неотрицательной). Следовательно, в этих точках нет экстремума (это точки перегиба), и функция является неубывающей. Таким образом, при $a = -1$ функция не имеет точек экстремума.

Если же $-1 < 3a + 2 < 1$ (то есть $-1 < a < -1/3$), то прямая $y = 3a + 2$ будет пересекать график $y = \sin(2x)$. В точках пересечения производная будет менять знак, и, следовательно, эти точки будут точками экстремума.

Объединяя все случаи, когда функция не имеет точек экстремума, получаем:

1. Случаи, когда нет критических точек: $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/3, +\infty)$.

2. Случаи, когда критические точки есть, но они не являются точками экстремума: $a = -1$ и $a = -1/3$.

Объединение этих множеств дает $a \in (-\infty, -1] \cup [-1/3, +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1] \cup [-1/3, +\infty)$.