Номер 306, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

306. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = \frac{2x - 3}{x + 4}$

2) $f(x) = \frac{x^2 - 5}{x - 3}$

3) $f(x) = \frac{x^3}{x^2 + 4}$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 8x}{x + 1}$

1. Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x + 4 \neq 0$, откуда $x \neq -4$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.

2. Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \frac{(2x-3)'(x+4) - (2x-3)(x+4)'}{(x+4)^2} = \frac{2(x+4) - (2x-3) \cdot 1}{(x+4)^2} = \frac{2x+8-2x+3}{(x+4)^2} = \frac{11}{(x+4)^2}$.

3. Найдем критические точки. Для этого решим уравнение $f'(x) = 0$ и найдем точки, где производная не существует.
Уравнение $\frac{11}{(x+4)^2} = 0$ не имеет решений, так как числитель не равен нулю.
Производная не существует при $x = -4$, но эта точка не входит в область определения функции.
Следовательно, критических точек нет.

4. Определим знаки производной на интервалах области определения.
Числитель производной $11 > 0$. Знаменатель $(x+4)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения.
Таким образом, $f'(x) > 0$ на всей области определения, то есть на интервалах $(-\infty; -4)$ и $(-4; +\infty)$.

5. Сделаем выводы о промежутках возрастания и убывания и точках экстремума.
Функция возрастает на тех интервалах, где $f'(x) > 0$. В данном случае это $(-\infty; -4)$ и $(-4; +\infty)$.
Промежутков убывания нет.
Так как производная не меняет знак и нет критических точек, точек экстремума у функции нет.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty; -4)$ и $(-4; +\infty)$; промежутков убывания нет; точек экстремума нет.

1. Область определения функции: $x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$. $D(f) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = \frac{(x^2-5)'(x-3) - (x^2-5)(x-3)'}{(x-3)^2} = \frac{2x(x-3) - (x^2-5) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{2x^2-6x-x^2+5}{(x-3)^2} = \frac{x^2-6x+5}{(x-3)^2}$.

3. Найдем критические точки. Приравняем производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2-6x+5}{(x-3)^2} = 0 \Rightarrow x^2-6x+5 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$, так как знаменатель $(x-3)^2$ всегда положителен.
Точки $x=1$, $x=5$ и точка разрыва $x=3$ разбивают числовую прямую на интервалы:
- При $x \in (-\infty; 1)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x \in (1; 3)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (3; 5)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (5; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=1$ производная меняет знак с `+` на `-`, значит, это точка максимума. $x_{max} = 1$.
В точке $x=5$ производная меняет знак с `-` на `+`, значит, это точка минимума. $x_{min} = 5$.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty; 1]$ и $[5; +\infty)$; промежутки убывания: $[1; 3)$ и $(3; 5]$; точка максимума $x_{max} = 1$; точка минимума $x_{min} = 5$.

1. Область определения функции: знаменатель $x^2+4$ никогда не равен нулю, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2+4 \ge 4$. $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = \frac{(x^3)'(x^2+4) - x^3(x^2+4)'}{(x^2+4)^2} = \frac{3x^2(x^2+4) - x^3(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{3x^4+12x^2-2x^4}{(x^2+4)^2} = \frac{x^4+12x^2}{(x^2+4)^2}$.

3. Найдем критические точки: $f'(x) = 0$.
$\frac{x^4+12x^2}{(x^2+4)^2} = 0 \Rightarrow x^4+12x^2 = 0 \Rightarrow x^2(x^2+12) = 0$.
Отсюда $x^2=0$ или $x^2+12=0$. Уравнение $x^2=-12$ не имеет действительных корней. Единственная критическая точка $x=0$.

4. Определим знаки производной. $f'(x) = \frac{x^2(x^2+12)}{(x^2+4)^2}$.
Выражения $x^2$, $(x^2+12)$ и $(x^2+4)^2$ всегда неотрицательны. Таким образом, $f'(x) \ge 0$ для всех $x \in D(f)$. Производная равна нулю только при $x=0$.

5. Так как производная $f'(x) \ge 0$ на всей области определения и обращается в ноль лишь в одной точке, функция является возрастающей на всей числовой прямой.
Поскольку производная не меняет знак в точке $x=0$, экстремума в этой точке нет.

Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty; +\infty)$; промежутков убывания нет; точек экстремума нет.

1. Область определения функции: $x + 1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$. $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = \frac{(x^2-8x)'(x+1) - (x^2-8x)(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{(2x-8)(x+1) - (x^2-8x) \cdot 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+2x-8x-8-x^2+8x}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow \frac{x^2+2x-8}{(x+1)^2} = 0 \Rightarrow x^2+2x-8=0$.
Корни квадратного уравнения: $x_1 = \frac{-2-\sqrt{4-4(-8)}}{2} = \frac{-2-6}{2}=-4$ и $x_2 = \frac{-2+\sqrt{4-4(-8)}}{2} = \frac{-2+6}{2}=2$. Обе точки принадлежат области определения.

4. Определим знаки производной. Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2+2x-8=(x+4)(x-2)$, так как знаменатель $(x+1)^2$ всегда положителен.
Точки $x=-4$, $x=2$ и точка разрыва $x=-1$ разбивают числовую прямую на интервалы:
- При $x \in (-\infty; -4)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает. - При $x \in (-4; -1)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (-1; 2)$, $f'(x) < 0$, функция убывает. - При $x \in (2; +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

5. В точке $x=-4$ производная меняет знак с `+` на `-`, значит, это точка максимума. $x_{max} = -4$.
В точке $x=2$ производная меняет знак с `-` на `+`, значит, это точка минимума. $x_{min} = 2$.

Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty; -4]$ и $[2; +\infty)$; промежутки убывания: $[-4; -1)$ и $(-1; 2]$; точка максимума $x_{max} = -4$; точка минимума $x_{min} = 2$.