Номер 300, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

300. Докажите, что функция $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 7x - 11$ является возрастающей.

Для того чтобы доказать, что дифференцируемая функция является возрастающей на всей области определения, достаточно показать, что её производная неотрицательна для всех действительных значений аргумента. Если производная строго положительна, то функция является строго возрастающей.

Заданная функция: $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 7x - 11$.

Нахождение производной функции

Найдём производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования:

$f'(x) = (\frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 7x - 11)'$

$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot (x^3)' - 3 \cdot (x^2)' + 7 \cdot (x)' - (11)'$

$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + 7 \cdot 1 - 0$

$f'(x) = 2x^2 - 6x + 7$

Анализ знака производной

Теперь необходимо исследовать знак производной $f'(x) = 2x^2 - 6x + 7$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как старший коэффициент $a = 2$ положителен, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс (т.е. может ли производная быть равной нулю или отрицательной), вычислим дискриминант $D$ квадратного трёхчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 36 - 56 = -20$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $2x^2 - 6x + 7 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y = f'(x)$ не пересекает и не касается оси Ox.

Так как ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью Ox, её график полностью расположен выше оси Ox. Следовательно, значение производной $f'(x)$ всегда положительно при любом $x \in \mathbb{R}$.

Другой способ показать это — выделить полный квадрат:

$f'(x) = 2x^2 - 6x + 7 = 2(x^2 - 3x) + 7 = 2(x^2 - 3x + 2.25 - 2.25) + 7$

$f'(x) = 2(x - 1.5)^2 - 4.5 + 7$

$f'(x) = 2(x - 1.5)^2 + 2.5$

Поскольку выражение $(x-1.5)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $(x-1.5)^2 \ge 0$), то наименьшее значение $f'(x)$ достигается при $x=1.5$ и равно $2.5$. Таким образом, $f'(x) \ge 2.5$ для всех $x$, что означает, что производная всегда строго положительна.

Вывод

Так как производная функции $f'(x)$ положительна при всех действительных значениях $x$, функция $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 7x - 11$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Функция является возрастающей, так как ее производная $f'(x) = 2x^2 - 6x + 7$ строго больше нуля для любого действительного числа $x$.