Номер 305, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

305. Определите, имеет ли данная функция точки экстремума:

1) $f(x) = 5x^9$;

2) $f(x) = \sqrt[8]{x^3}$;

3) $f(x) = \sqrt[5]{x^4}$;

4) $f(x) = -x - \cos x$.

Для определения наличия точек экстремума функции необходимо найти ее производную, приравнять к нулю и найти критические точки. Затем следует исследовать знак производной в окрестности этих точек. Если производная меняет знак, то в данной точке есть экстремум. Экстремумы также могут существовать в точках, где производная не определена, но сама функция определена.

1) $f(x) = 5x^9$

Найдем производную функции: $f'(x) = (5x^9)' = 5 \cdot 9x^8 = 45x^8$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$45x^8 = 0$

$x = 0$

Производная $f'(x) = 45x^8$ определена на всей числовой оси. Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x=0$.

Определим знак производной слева и справа от критической точки. Поскольку показатель степени 8 является четным числом, $x^8 \ge 0$ для любого $x$. Следовательно, $f'(x) = 45x^8 \ge 0$ при всех значениях $x$. Производная не меняет знак при переходе через точку $x=0$. Это означает, что функция монотонно возрастает на всей области определения и не имеет точек экстремума.

Ответ: функция не имеет точек экстремума.

2) $f(x) = \sqrt[8]{x^3}$

Перепишем функцию в виде $f(x) = x^{3/8}$.

Область определения функции: так как корень имеет четный показатель (8), подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^3 \ge 0$, что выполняется при $x \ge 0$. Таким образом, $D(f) = [0; +\infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (x^{3/8})' = \frac{3}{8}x^{3/8 - 1} = \frac{3}{8}x^{-5/8} = \frac{3}{8\sqrt[8]{x^5}}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$, то есть $\frac{3}{8\sqrt[8]{x^5}} = 0$, не имеет решений, так как числитель не равен нулю. Однако производная не определена при $x=0$. Так как точка $x=0$ входит в область определения функции, она является критической точкой.

Исследуем поведение функции. На всей области определения $(0; +\infty)$ производная $f'(x) = \frac{3}{8\sqrt[8]{x^5}}$ положительна, так как $x > 0$. Это означает, что функция строго возрастает на всей своей области определения $[0; +\infty)$. Точка $x=0$ является левой границей области определения, и для любой точки $x > 0$ выполняется $f(x) > f(0)$. Следовательно, в точке $x=0$ функция имеет минимум (локальный и глобальный).

Ответ: функция имеет точку экстремума (минимум в точке $x=0$).

3) $f(x) = \sqrt[5]{x^4}$

Перепишем функцию в виде $f(x) = x^{4/5}$.

Область определения функции: так как корень имеет нечетный показатель (5), функция определена для всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную: $f'(x) = (x^{4/5})' = \frac{4}{5}x^{4/5 - 1} = \frac{4}{5}x^{-1/5} = \frac{4}{5\sqrt[5]{x}}$.

Найдем критические точки. Уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений. Производная не определена при $x=0$. Так как точка $x=0$ входит в область определения функции, она является критической точкой.

Определим знак производной слева и справа от $x=0$.

• При $x < 0$, $\sqrt[5]{x} < 0$, следовательно, $f'(x) < 0$. Функция убывает на интервале $(-\infty; 0)$.
• При $x > 0$, $\sqrt[5]{x} > 0$, следовательно, $f'(x) > 0$. Функция возрастает на интервале $(0; +\infty)$.

Поскольку при переходе через точку $x=0$ производная меняет знак с «-» на «+», точка $x=0$ является точкой минимума.

Ответ: функция имеет точку экстремума (минимум в точке $x=0$).

4) $f(x) = -x - \cos x$

Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдем производную функции: $f'(x) = (-x - \cos x)' = -1 - (-\sin x) = \sin x - 1$.

Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:

$\sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1$.

Решениями этого уравнения являются точки $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k$ – любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Исследуем знак производной. Мы знаем, что область значений синуса – это отрезок $[-1; 1]$, то есть $-1 \le \sin x \le 1$ для любого $x$.

Следовательно, производная $f'(x) = \sin x - 1 \le 1 - 1 = 0$. Производная всегда неположительна ($f'(x) \le 0$). Она обращается в ноль в критических точках и отрицательна во всех остальных. Знак производной не меняется при переходе через критические точки. Это означает, что функция монотонно убывает на всей числовой прямой и не имеет точек экстремума.

Ответ: функция не имеет точек экстремума.