Номер 308, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

308. Найдите, при каких значениях $a$ функция

$f(x) = \sin^2 x - (3a + 2)x$

1) не имеет критических точек;

2) не имеет точек экстремума.

Дана функция $f(x) = \sin^2 x - (3a + 2)x$.

Область определения функции — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$). Функция дифференцируема на всей области определения.

Критические точки функции — это точки, в которых ее производная равна нулю или не существует. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sin^2 x)' - ((3a + 2)x)' = 2\sin x \cos x - (3a + 2) = \sin(2x) - (3a + 2)$.

Поскольку производная существует для всех $x$, критические точки — это корни уравнения $f'(x) = 0$.

$\sin(2x) - (3a + 2) = 0$

$\sin(2x) = 3a + 2$

Функция не имеет критических точек, если уравнение $f'(x) = 0$ не имеет решений. Уравнение $\sin(2x) = 3a + 2$ не имеет решений, если значение выражения в правой части выходит за пределы области значений функции синус, которая равна $[-1, 1]$.

Следовательно, должно выполняться условие:

$|3a + 2| > 1$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$3a + 2 > 1$ или $3a + 2 < -1$

Решим первое неравенство:

$3a > 1 - 2$

$3a > -1$

$a > -1/3$

Решим второе неравенство:

$3a < -1 - 2$

$3a < -3$

$a < -1$

Таким образом, функция не имеет критических точек при $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/3, +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/3, +\infty)$.

Точки экстремума могут существовать только там, где есть критические точки. Точка экстремума — это критическая точка, при переходе через которую производная меняет знак.

Из пункта 1) следует, что если $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/3, +\infty)$, то критических точек нет, а значит, нет и точек экстремума.

Рассмотрим случай, когда критические точки существуют. Это происходит, когда уравнение $\sin(2x) = 3a + 2$ имеет решения, то есть при $|3a + 2| \le 1$.

$-1 \le 3a + 2 \le 1$

$-3 \le 3a \le -1$

$-1 \le a \le -1/3$

Для того чтобы в критических точках не было экстремума, необходимо, чтобы производная $f'(x) = \sin(2x) - (3a + 2)$ не меняла свой знак при прохождении через эти точки. Это возможно только в том случае, если график функции $y = \sin(2x)$ касается прямой $y = 3a + 2$, но не пересекает ее. Такое касание происходит в точках максимума и минимума функции синус, то есть когда $3a + 2 = 1$ или $3a + 2 = -1$.

Случай 1: $3a + 2 = 1$

$3a = -1$, откуда $a = -1/3$.

В этом случае производная $f'(x) = \sin(2x) - 1$. Поскольку $\sin(2x) \le 1$ для всех $x$, то $f'(x) \le 0$ для всех $x$. Производная равна нулю в точках, где $\sin(2x) = 1$, но не меняет свой знак (остается неположительной). Следовательно, в этих точках нет экстремума (это точки перегиба), и функция является невозрастающей. Таким образом, при $a = -1/3$ функция не имеет точек экстремума.

Случай 2: $3a + 2 = -1$

$3a = -3$, откуда $a = -1$.

В этом случае производная $f'(x) = \sin(2x) - (-1) = \sin(2x) + 1$. Поскольку $\sin(2x) \ge -1$ для всех $x$, то $f'(x) \ge 0$ для всех $x$. Производная равна нулю в точках, где $\sin(2x) = -1$, но не меняет свой знак (остается неотрицательной). Следовательно, в этих точках нет экстремума (это точки перегиба), и функция является неубывающей. Таким образом, при $a = -1$ функция не имеет точек экстремума.

Если же $-1 < 3a + 2 < 1$ (то есть $-1 < a < -1/3$), то прямая $y = 3a + 2$ будет пересекать график $y = \sin(2x)$. В точках пересечения производная будет менять знак, и, следовательно, эти точки будут точками экстремума.

Объединяя все случаи, когда функция не имеет точек экстремума, получаем:

1. Случаи, когда нет критических точек: $a \in (-\infty, -1) \cup (-1/3, +\infty)$.

2. Случаи, когда критические точки есть, но они не являются точками экстремума: $a = -1$ и $a = -1/3$.

Объединение этих множеств дает $a \in (-\infty, -1] \cup [-1/3, +\infty)$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1] \cup [-1/3, +\infty)$.