Номер 303, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Для нахождения точек максимума и минимума функции, необходимо найти ее производную, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем исследовать знак производной в окрестности этих точек.

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (2x^{10})' = 2 \cdot 10x^{10-1} = 20x^9$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$20x^9 = 0$
$x = 0$.
Таким образом, у нас есть одна критическая точка $x=0$.

3. Исследуем знак производной $f'(x)$ на интервалах, на которые критическая точка делит числовую ось: $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
- При $x < 0$, например, при $x = -1$, $f'(-1) = 20(-1)^9 = -20 < 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty; 0)$ функция убывает.
- При $x > 0$, например, при $x = 1$, $f'(1) = 20(1)^9 = 20 > 0$. Следовательно, на интервале $(0; +\infty)$ функция возрастает.

Поскольку в точке $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, эта точка является точкой минимума. Точек максимума у функции нет.

Ответ: точка минимума $x_{min} = 0$.

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (14x - x^2)' = 14 - 2x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$14 - 2x = 0$
$2x = 14$
$x = 7$.
Критическая точка: $x=7$.

3. Исследуем знак производной $f'(x)$ на интервалах $(-\infty; 7)$ и $(7; +\infty)$.
- При $x < 7$, например, при $x = 0$, $f'(0) = 14 - 2(0) = 14 > 0$. Следовательно, на интервале $(-\infty; 7)$ функция возрастает.
- При $x > 7$, например, при $x = 10$, $f'(10) = 14 - 2(10) = -6 < 0$. Следовательно, на интервале $(7; +\infty)$ функция убывает.

Поскольку в точке $x=7$ производная меняет знак с плюса на минус, эта точка является точкой максимума. Точек минимума у функции нет.

Ответ: точка максимума $x_{max} = 7$.

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^3 - 48x + 21)' = 3x^2 - 48$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 - 48 = 0$
$3x^2 = 48$
$x^2 = 16$
$x_1 = -4$, $x_2 = 4$.
Критические точки: $x=-4$ и $x=4$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 3x^2 - 48$ на интервалах $(-\infty; -4)$, $(-4; 4)$ и $(4; +\infty)$.
- При $x < -4$, например, при $x = -5$, $f'(-5) = 3(-5)^2 - 48 = 3(25) - 48 = 75 - 48 = 27 > 0$. Функция возрастает.
- При $-4 < x < 4$, например, при $x = 0$, $f'(0) = 3(0)^2 - 48 = -48 < 0$. Функция убывает.
- При $x > 4$, например, при $x = 5$, $f'(5) = 3(5)^2 - 48 = 3(25) - 48 = 75 - 48 = 27 > 0$. Функция возрастает.

- В точке $x=-4$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.
- В точке $x=4$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -4$, точка минимума $x_{min} = 4$.

1. Находим производную функции:
$f'(x) = (x^4 + 12x^3 + 16x^2 - 27)' = 4x^3 + 36x^2 + 32x$.

2. Находим критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$4x^3 + 36x^2 + 32x = 0$
Вынесем общий множитель $4x$:
$4x(x^2 + 9x + 8) = 0$
Это уравнение распадается на два:
$4x = 0 \Rightarrow x_1 = 0$
и
$x^2 + 9x + 8 = 0$.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета:
$x_2 + x_3 = -9$
$x_2 \cdot x_3 = 8$
Корни: $x_2 = -8$, $x_3 = -1$.
Критические точки: $x=-8$, $x=-1$ и $x=0$.

3. Исследуем знак производной $f'(x) = 4x(x+1)(x+8)$ на интервалах $(-\infty; -8)$, $(-8; -1)$, $(-1; 0)$ и $(0; +\infty)$.
- При $x < -8$ (например, $x=-10$): $f'(-10) = 4(-10)(-10+1)(-10+8) = (-)(-)(-) = -$. Функция убывает.
- При $-8 < x < -1$ (например, $x=-2$): $f'(-2) = 4(-2)(-2+1)(-2+8) = (-)(-)(+) = +$. Функция возрастает.
- При $-1 < x < 0$ (например, $x=-0.5$): $f'(-0.5) = 4(-0.5)(-0.5+1)(-0.5+8) = (-)(+)(+) = -$. Функция убывает.
- При $x > 0$ (например, $x=1$): $f'(1) = 4(1)(1+1)(1+8) = (+)(+)(+) = +$. Функция возрастает.

- В точке $x=-8$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.
- В точке $x=-1$ производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.
- В точке $x=0$ производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, это точка минимума.

Ответ: точка максимума $x_{max} = -1$, точки минимума $x_{min} = -8$ и $x_{min} = 0$.