Номер 310, страница 158 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

310. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f на указанном промежутке:

1) $f(x) = \sqrt{15 - 2x - x^2}$, $[-4; 1];$

2) $f(x) = (x - 3)^3 (x + 1)^2$, $[-2; 4];$

3) $f(x) = 2\cos x - \sin 2x$, $\left[-\frac{\pi}{2}; \pi\right].$

1) $f(x) = \sqrt{15 - 2x - x^2}$, $[-4; 1]$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, найдем значения функции на концах отрезка и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, а затем сравним их.

Сначала найдем область определения функции. Поткоренное выражение должно быть неотрицательным:
$15 - 2x - x^2 \ge 0$
$x^2 + 2x - 15 \le 0$
Корни уравнения $x^2 + 2x - 15 = 0$ равны $x_1 = -5$ и $x_2 = 3$.
Следовательно, область определения $D(f) = [-5; 3]$. Заданный отрезок $[-4; 1]$ полностью входит в область определения функции.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{15 - 2x - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{15 - 2x - x^2}} \cdot (15 - 2x - x^2)' = \frac{-2 - 2x}{2\sqrt{15 - 2x - x^2}} = \frac{-(x+1)}{\sqrt{15 - 2x - x^2}}$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$f'(x) = 0 \Rightarrow -(x+1) = 0 \Rightarrow x = -1$.
Точка $x = -1$ принадлежит отрезку $[-4; 1]$.

Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
$f(-4) = \sqrt{15 - 2(-4) - (-4)^2} = \sqrt{15 + 8 - 16} = \sqrt{7}$
$f(-1) = \sqrt{15 - 2(-1) - (-1)^2} = \sqrt{15 + 2 - 1} = \sqrt{16} = 4$
$f(1) = \sqrt{15 - 2(1) - (1)^2} = \sqrt{15 - 2 - 1} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Сравним полученные значения: $\sqrt{7}$, $4 = \sqrt{16}$ и $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно $4$.
Наименьшее значение функции на отрезке равно $\sqrt{7}$.

Ответ: наибольшее значение $4$, наименьшее значение $\sqrt{7}$.

2) $f(x) = (x - 3)^3(x + 1)^2$, $[-2; 4]$

Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = ((x-3)^3)'(x+1)^2 + (x-3)^3((x+1)^2)'$
$f'(x) = 3(x-3)^2 \cdot (x+1)^2 + (x-3)^3 \cdot 2(x+1)$
Вынесем общий множитель $(x-3)^2(x+1)$:
$f'(x) = (x-3)^2(x+1) [3(x+1) + 2(x-3)]$
$f'(x) = (x-3)^2(x+1) (3x + 3 + 2x - 6)$
$f'(x) = (x-3)^2(x+1)(5x - 3)$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$(x-3)^2(x+1)(5x - 3) = 0$
Критические точки: $x_1 = 3$, $x_2 = -1$, $x_3 = \frac{3}{5}$.
Все три точки принадлежат отрезку $[-2; 4]$.

Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
$f(-2) = (-2 - 3)^3(-2 + 1)^2 = (-5)^3(-1)^2 = -125 \cdot 1 = -125$
$f(-1) = (-1 - 3)^3(-1 + 1)^2 = (-4)^3(0)^2 = 0$
$f(\frac{3}{5}) = (\frac{3}{5} - 3)^3(\frac{3}{5} + 1)^2 = (\frac{3-15}{5})^3(\frac{3+5}{5})^2 = (-\frac{12}{5})^3(\frac{8}{5})^2 = -\frac{1728}{125} \cdot \frac{64}{25} = -\frac{110592}{3125} \approx -35.39$
$f(3) = (3 - 3)^3(3 + 1)^2 = 0^3 \cdot 4^2 = 0$
$f(4) = (4 - 3)^3(4 + 1)^2 = 1^3 \cdot 5^2 = 25$

Сравним полученные значения: $-125$, $0$, $-\frac{110592}{3125}$, $25$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно $25$.
Наименьшее значение функции на отрезке равно $-125$.

Ответ: наибольшее значение $25$, наименьшее значение $-125$.

3) $f(x) = 2\cos x - \sin 2x$, $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$

Найдем производную функции:
$f'(x) = (2\cos x - \sin 2x)' = -2\sin x - 2\cos 2x$
Используем формулу двойного угла $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
$f'(x) = -2\sin x - 2(1 - 2\sin^2 x) = 4\sin^2 x - 2\sin x - 2$

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$4\sin^2 x - 2\sin x - 2 = 0$
$2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $t \in [-1; 1]$:
$2t^2 - t - 1 = 0$
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$
$t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{4} = \frac{1 + 3}{4} = 1$
$t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{4} = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$

Вернемся к переменной $x$:
1) $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$. Отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ принадлежит точка $x = \frac{\pi}{2}$ (при $k=0$).
2) $\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = (-1)^k(-\frac{\pi}{6}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. Отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \pi]$ принадлежит точка $x = -\frac{\pi}{6}$ (при $k=0$).

Вычислим значения функции в критических точках $x = -\frac{\pi}{6}$, $x = \frac{\pi}{2}$ и на концах отрезка $x = -\frac{\pi}{2}$, $x = \pi$:
$f(-\frac{\pi}{2}) = 2\cos(-\frac{\pi}{2}) - \sin(-\pi) = 2 \cdot 0 - 0 = 0$
$f(-\frac{\pi}{6}) = 2\cos(-\frac{\pi}{6}) - \sin(-\frac{\pi}{3}) = 2\frac{\sqrt{3}}{2} - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$
$f(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\pi) = 2 \cdot 0 - 0 = 0$
$f(\pi) = 2\cos(\pi) - \sin(2\pi) = 2(-1) - 0 = -2$

Сравним полученные значения: $0$, $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ и $-2$.
Так как $\sqrt{3} \approx 1.73$, то $\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.595$.
Наибольшее значение функции на отрезке равно $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.
Наименьшее значение функции на отрезке равно $-2$.

Ответ: наибольшее значение $\frac{3\sqrt{3}}{2}$, наименьшее значение $-2$.