Номер 307, страница 157 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

307. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции:

1) $f(x) = x^2\sqrt{2-x};$

2) $f(x) = \sin \frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{4}x.$

1) $f(x) = x^2\sqrt{2-x}$

1. Найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$2 - x \ge 0 \implies x \le 2$.
Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty, 2]$.

2. Найдем производную функции, используя правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$:
$f'(x) = (x^2)'\sqrt{2-x} + x^2(\sqrt{2-x})'$
$f'(x) = 2x\sqrt{2-x} + x^2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{2-x}} \cdot (-1) = 2x\sqrt{2-x} - \frac{x^2}{2\sqrt{2-x}}$
Приведем к общему знаменателю:
$f'(x) = \frac{2x\sqrt{2-x} \cdot 2\sqrt{2-x} - x^2}{2\sqrt{2-x}} = \frac{4x(2-x) - x^2}{2\sqrt{2-x}} = \frac{8x - 4x^2 - x^2}{2\sqrt{2-x}} = \frac{8x - 5x^2}{2\sqrt{2-x}}$
$f'(x) = \frac{x(8 - 5x)}{2\sqrt{2-x}}$

3. Найдем критические точки функции. Это точки, в которых производная равна нулю или не существует.
Производная равна нулю, когда числитель равен нулю:
$x(8 - 5x) = 0 \implies x_1 = 0$ или $8 - 5x = 0 \implies x_2 = \frac{8}{5} = 1.6$.
Обе точки принадлежат области определения $D(f)$.
Производная не существует, когда знаменатель равен нулю:
$2\sqrt{2-x} = 0 \implies 2-x = 0 \implies x_3 = 2$.
Эта точка является концом области определения.

4. Определим знаки производной на интервалах, на которые критические точки делят область определения: $(-\infty, 0)$, $(0, 1.6)$, $(1.6, 2)$.
Знаменатель $2\sqrt{2-x}$ всегда положителен при $x < 2$, поэтому знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $x(8-5x)$.

• При $x \in (-\infty, 0)$: возьмем $x = -1$. $f'(-1) = \frac{(-1)(8+5)}{+} < 0$. Функция убывает.
• При $x \in (0, 1.6)$: возьмем $x = 1$. $f'(1) = \frac{(1)(8-5)}{+} > 0$. Функция возрастает.
• При $x \in (1.6, 2)$: возьмем $x = 1.8$. $f'(1.8) = \frac{(1.8)(8-9)}{+} < 0$. Функция убывает.

5. Сделаем выводы о промежутках монотонности и точках экстремума.

• Функция возрастает на промежутке $[0, 1.6]$.
• Функция убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[1.6, 2]$.
• В точке $x=0$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, $x=0$ — точка минимума.
• В точке $x=1.6$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, $x=1.6$ — точка максимума.
• Точка $x=2$ является граничной точкой области определения, и так как функция убывает на $[1.6, 2]$, то $x=2$ является точкой локального минимума.

Точки экстремума: $x_{min} = 0$, $x_{max} = \frac{8}{5}$, $x_{min} = 2$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0; \frac{8}{5}]$, убывает на промежутках $(-\infty; 0]$ и $[\frac{8}{5}; 2]$. Точки экстремума: $x_{min}=0$, $x_{max}=\frac{8}{5}$, $x_{min}=2$.

2) $f(x) = \sin\frac{1}{2}x - \frac{\sqrt{3}}{4}x$

1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty, +\infty)$.

2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\sin\frac{x}{2})' - (\frac{\sqrt{3}}{4}x)' = \cos\frac{x}{2} \cdot (\frac{x}{2})' - \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$.

3. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:
$\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} = 0$
$\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
$\cos\frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{x}{2} = \pm\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
$\frac{x}{2} = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \pm\frac{\pi}{3} + 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

4. Определим знаки производной.
Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:
$\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} > 0 \implies \cos\frac{x}{2} > \frac{\sqrt{3}}{2}$
$-\frac{\pi}{6} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$-\frac{\pi}{3} + 4\pi k < x < \frac{\pi}{3} + 4\pi k$.
На этих интервалах функция возрастает.

Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:
$\frac{1}{2}\cos\frac{x}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4} < 0 \implies \cos\frac{x}{2} < \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < \frac{x}{2} < 2\pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{6} + 2\pi k < \frac{x}{2} < \frac{11\pi}{6} + 2\pi k$
$\frac{\pi}{3} + 4\pi k < x < \frac{11\pi}{3} + 4\pi k$.
На этих интервалах функция убывает.

5. Определим точки экстремума.

• В точках $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k$ производная меняет знак с "-" на "+", следовательно, это точки минимума.
• В точках $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$ производная меняет знак с "+" на "-", следовательно, это точки максимума.

Ответ: функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + 4\pi k; \frac{\pi}{3} + 4\pi k]$, убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 4\pi k; \frac{11\pi}{3} + 4\pi k]$, где $k \in \mathbb{Z}$. Точки максимума: $x_{max} = \frac{\pi}{3} + 4\pi k$, точки минимума: $x_{min} = -\frac{\pi}{3} + 4\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.