Номер 301, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

301. Найдите, при каких значениях $a$ возрастает на $R$ функция:

1) $f(x) = (a - 1)x^2 + 6x - 7;$

2) $f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} + 9x - 5.$

1) Дана функция $f(x) = (a-1)x^2 + 6x - 7$.

Функция является возрастающей на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда ее производная $f'(x)$ неотрицательна для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $f'(x) \geq 0$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = ((a-1)x^2 + 6x - 7)' = 2(a-1)x + 6$.

Теперь необходимо решить неравенство $2(a-1)x + 6 \geq 0$ так, чтобы оно выполнялось для любого $x \in \mathbb{R}$.

Это линейная функция относительно $x$. Линейная функция $y = kx+b$ может сохранять знак на всей числовой прямой только в том случае, если ее угловой коэффициент $k=0$. Если $k \neq 0$, то функция будет принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Следовательно, коэффициент при $x$ должен быть равен нулю:

$2(a-1) = 0$

$a-1 = 0$

$a = 1$

При $a=1$ производная принимает вид $f'(x) = 2(1-1)x + 6 = 6$. Неравенство $6 \geq 0$ верно для всех $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, функция возрастает на $\mathbb{R}$ только при $a=1$.

Ответ: $a=1$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} + 9x - 5$.

Функция возрастает на $\mathbb{R}$, если ее производная $f'(x) \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} + 9x - 5)' = \frac{3x^2}{3} + \frac{2ax}{2} + 9 = x^2 + ax + 9$.

Теперь нужно найти значения параметра $a$, при которых неравенство $x^2 + ax + 9 \geq 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y(x) = x^2 + ax + 9$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число).

Парабола с ветвями вверх будет неотрицательной на всей числовой прямой, если она не имеет точек пересечения с осью $Ox$ или имеет только одну точку касания. Это условие выполняется, если дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $x^2 + ax + 9 = 0$ меньше или равен нулю ($D \leq 0$).

Вычислим дискриминант:

$D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36$.

Решим неравенство $D \leq 0$:

$a^2 - 36 \leq 0$

$a^2 \leq 36$

$|a| \leq 6$

$-6 \leq a \leq 6$.

Следовательно, функция возрастает на $\mathbb{R}$ при всех значениях $a$ из отрезка $[-6, 6]$.

Ответ: $a \in [-6, 6]$.