Номер 294, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

294. Найдите уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x-2}{3-x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$. Существуют ли прямые, параллельные найденной касательной, которые также являются касательными к графику данной функции?

Найдём уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x-2}{3-x}$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ задается формулой: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

1. Вычислим значение функции в точке $x_0 = 2$:
$f(2) = \frac{2-2}{3-2} = \frac{0}{1} = 0$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(2, 0)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:
$f'(x) = \left(\frac{x-2}{3-x}\right)' = \frac{(x-2)'(3-x) - (x-2)(3-x)'}{(3-x)^2} = \frac{1 \cdot (3-x) - (x-2) \cdot (-1)}{(3-x)^2} = \frac{3-x+x-2}{(3-x)^2} = \frac{1}{(3-x)^2}$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$. Это значение является угловым коэффициентом $k$ касательной:
$k = f'(2) = \frac{1}{(3-2)^2} = \frac{1}{1^2} = 1$.

4. Подставим найденные значения $x_0 = 2$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 1$ в общую формулу уравнения касательной:
$y = 0 + 1 \cdot (x - 2)$
$y = x - 2$.

Ответ: Уравнение касательной: $y = x - 2$.

Выясним, существуют ли прямые, параллельные найденной касательной, которые также являются касательными к графику данной функции.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент найденной касательной равен $k=1$.
Угловой коэффициент касательной к графику функции в любой точке $x$ равен значению производной $f'(x)$ в этой точке.

Чтобы найти другие касательные, параллельные данной, необходимо найти все значения $x$, для которых $f'(x) = 1$:
$\frac{1}{(3-x)^2} = 1$

Решим это уравнение:
$(3-x)^2 = 1$
Это уравнение имеет два решения:
1) $3 - x = 1 \implies x = 2$. Это абсцисса исходной точки касания.
2) $3 - x = -1 \implies x = 4$.

Поскольку существует еще одно значение $x=4$ (отличное от $x=2$), при котором угловой коэффициент касательной равен 1, то существует еще одна касательная, параллельная найденной.
Точка $x=4$ принадлежит области определения функции ($x \neq 3$).

Ответ: Да, существует.