Номер 297, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

297. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \frac{4x - 3}{x + 1};$

2) $f(x) = x + \frac{2}{x};$

3) $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}.$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = \frac{4x - 3}{x + 1}$ необходимо найти ее производную и определить знаки производной.

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$. Область определения: $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Теперь найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(4x - 3)'(x + 1) - (4x - 3)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{4(x + 1) - (4x - 3) \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{4x + 4 - 4x + 3}{(x + 1)^2} = \frac{7}{(x + 1)^2}$.

Чтобы определить промежутки монотонности, нужно проанализировать знак производной. Числитель производной равен 7 (положительное число), а знаменатель $(x + 1)^2$ всегда положителен для любого $x$ из области определения (т.е. при $x \neq -1$).

Таким образом, $f'(x) > 0$ на всей области определения функции. Это означает, что функция возрастает на каждом из промежутков, составляющих ее область определения.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -1)$ и $(-1, +\infty)$; промежутков убывания нет.

2) Найдем промежутки возрастания и убывания для функции $f(x) = x + \frac{2}{x}$.

Область определения функции: знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения: $D(f) = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (x + 2x^{-1})' = 1 - 2x^{-2} = 1 - \frac{2}{x^2} = \frac{x^2 - 2}{x^2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{x^2 - 2}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 - 2 = 0 \Rightarrow x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm\sqrt{2}$.

Производная не определена в точке $x=0$, которая также является точкой разрыва для исходной функции. Отметим на числовой прямой точки $x = -\sqrt{2}$, $x = 0$ и $x = \sqrt{2}$ и определим знак производной на полученных промежутках.

Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2 - 2$, так как знаменатель $x^2$ всегда положителен (при $x \neq 0$). График $y=x^2-2$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а корни равны $\pm\sqrt{2}$.
- На промежутке $(-\infty, -\sqrt{2})$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На промежутке $(-\sqrt{2}, 0)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На промежутке $(0, \sqrt{2})$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На промежутке $(\sqrt{2}, +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Объединяя результаты и включая концы интервалов, где функция непрерывна, получаем промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -\sqrt{2}]$ и $[\sqrt{2}, +\infty)$; убывает на промежутках $[-\sqrt{2}, 0)$ и $(0, \sqrt{2}]$.

3) Найдем промежутки возрастания и убывания для функции $f(x) = \frac{x^2 - 3x}{x + 1}$.

Область определения функции: $x + 1 \neq 0$, то есть $x \neq -1$. Область определения: $D(f) = (-\infty, -1) \cup (-1, +\infty)$.

Найдем производную функции по правилу дифференцирования частного:

$f'(x) = \frac{(x^2 - 3x)'(x + 1) - (x^2 - 3x)(x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{(2x - 3)(x + 1) - (x^2 - 3x) \cdot 1}{(x + 1)^2}$.

$f'(x) = \frac{2x^2 + 2x - 3x - 3 - x^2 + 3x}{(x + 1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2}$.

Найдем критические точки, приравняв производную к нулю: $f'(x) = 0$.

$\frac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0$.

Корни этого квадратного уравнения: $(x+3)(x-1)=0$, откуда $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

Производная не определена в точке $x = -1$, которая является точкой разрыва функции. Отметим на числовой прямой точки $x = -3$, $x = -1$ и $x = 1$ и определим знак производной на полученных промежутках.

Знак $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $x^2 + 2x - 3$, так как знаменатель $(x + 1)^2$ всегда положителен (при $x \neq -1$). График $y=x^2+2x-3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх, а корни равны -3 и 1.
- На промежутке $(-\infty, -3)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.
- На промежутке $(-3, -1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На промежутке $(-1, 1)$: $f'(x) < 0$, функция убывает.
- На промежутке $(1, +\infty)$: $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Объединяя результаты и включая концы интервалов, где функция непрерывна, получаем промежутки монотонности.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty, -3]$ и $[1, +\infty)$; убывает на промежутках $[-3, -1)$ и $(-1, 1]$.