Номер 299, страница 156 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

299. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x};$

2) $f(x) = \sin x - \frac{1}{2}x.$

1) $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции исследуем знак ее производной.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 + 6x \ge 0$

$x(x+6) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -6] \cup [0, +\infty)$. Это и есть область определения функции $D(f)$.

Теперь найдем производную функции:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 + 6x})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 6x}} \cdot (x^2 + 6x)' = \frac{2x+6}{2\sqrt{x^2 + 6x}} = \frac{x+3}{\sqrt{x^2 + 6x}}$

Производная определена при $x \in (-\infty, -6) \cup (0, +\infty)$. Знак производной зависит от знака числителя $x+3$, так как знаменатель $\sqrt{x^2 + 6x}$ всегда положителен.

Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:
$\frac{x+3}{\sqrt{x^2 + 6x}} > 0 \implies x+3 > 0 \implies x > -3$.
Пересекая это условие с областью определения, получаем промежуток $(0, +\infty)$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, ее можно включить в промежуток возрастания.

Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:
$\frac{x+3}{\sqrt{x^2 + 6x}} < 0 \implies x+3 < 0 \implies x < -3$.
Пересекая это условие с областью определения, получаем промежуток $(-\infty, -6)$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=-6$, ее можно включить в промежуток убывания.

Ответ: промежуток возрастания: $[0, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, -6]$.

2) $f(x) = \sin x - \frac{1}{2}x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции исследуем знак ее производной.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x - \frac{1}{2}x)' = \cos x - \frac{1}{2}$

Найдем промежутки, на которых производная положительна (функция возрастает) и отрицательна (функция убывает).

Промежутки возрастания ($f'(x) > 0$):
$\cos x - \frac{1}{2} > 0$
$\cos x > \frac{1}{2}$
Решением этого неравенства являются интервалы $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как функция непрерывна на всей числовой оси, концы интервалов можно включить. Функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки убывания ($f'(x) < 0$):
$\cos x - \frac{1}{2} < 0$
$\cos x < \frac{1}{2}$
Решением этого неравенства являются интервалы $(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как функция непрерывна на всей числовой оси, концы интервалов можно включить. Функция убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$; промежутки убывания: $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.