Страница 156 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

298. На рисунке 29 изображён график производной функции $f$, дифференцируемой на $R$. Укажите промежутки возрастания функции $f$.

Рис. 29

$y$ $x$ $x_1$ $x_2$ $0$ $x_3$ $x_4$

Функция $f$ возрастает на тех промежутках, где её производная $f'(x)$ неотрицательна, и равна нулю лишь в отдельных точках. Другими словами, для нахождения промежутков возрастания функции $f$ необходимо найти промежутки, на которых $f'(x) \ge 0$.

На рисунке изображён график производной функции, то есть график $y = f'(x)$. Нам нужно определить, где этот график находится выше или на оси абсцисс ($Ox$).

Анализируя график, мы видим, что:

• На промежутке $(x_2, x_3)$ значения функции $f'(x)$ положительны, то есть $f'(x) > 0$.
• На промежутке $(x_4, +\infty)$ значения функции $f'(x)$ также положительны, то есть $f'(x) > 0$.
• В точках $x=x_2$, $x=x_3$ и $x=x_4$ производная равна нулю, $f'(x)=0$.

Поскольку функция $f$ дифференцируема на всей числовой прямой $\mathbb{R}$, она является непрерывной. Это позволяет нам включить точки, в которых производная равна нулю, в промежутки возрастания.

Объединяя эти наблюдения, получаем, что функция $f$ возрастает на промежутках $[x_2; x_3]$ и $[x_4; +\infty)$.

Ответ: $[x_2; x_3]$ и $[x_4; +\infty)$.

299. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x};$

2) $f(x) = \sin x - \frac{1}{2}x.$

1) $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x}$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции исследуем знак ее производной.

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x^2 + 6x \ge 0$

$x(x+6) \ge 0$

Решением этого неравенства является объединение промежутков $(-\infty, -6] \cup [0, +\infty)$. Это и есть область определения функции $D(f)$.

Теперь найдем производную функции:

$f'(x) = (\sqrt{x^2 + 6x})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 6x}} \cdot (x^2 + 6x)' = \frac{2x+6}{2\sqrt{x^2 + 6x}} = \frac{x+3}{\sqrt{x^2 + 6x}}$

Производная определена при $x \in (-\infty, -6) \cup (0, +\infty)$. Знак производной зависит от знака числителя $x+3$, так как знаменатель $\sqrt{x^2 + 6x}$ всегда положителен.

Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$:
$\frac{x+3}{\sqrt{x^2 + 6x}} > 0 \implies x+3 > 0 \implies x > -3$.
Пересекая это условие с областью определения, получаем промежуток $(0, +\infty)$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=0$, ее можно включить в промежуток возрастания.

Функция убывает, когда $f'(x) < 0$:
$\frac{x+3}{\sqrt{x^2 + 6x}} < 0 \implies x+3 < 0 \implies x < -3$.
Пересекая это условие с областью определения, получаем промежуток $(-\infty, -6)$. Поскольку функция непрерывна в точке $x=-6$, ее можно включить в промежуток убывания.

Ответ: промежуток возрастания: $[0, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, -6]$.

2) $f(x) = \sin x - \frac{1}{2}x$

Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции исследуем знак ее производной.

Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\sin x - \frac{1}{2}x)' = \cos x - \frac{1}{2}$

Найдем промежутки, на которых производная положительна (функция возрастает) и отрицательна (функция убывает).

Промежутки возрастания ($f'(x) > 0$):
$\cos x - \frac{1}{2} > 0$
$\cos x > \frac{1}{2}$
Решением этого неравенства являются интервалы $(-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как функция непрерывна на всей числовой оси, концы интервалов можно включить. Функция возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Промежутки убывания ($f'(x) < 0$):
$\cos x - \frac{1}{2} < 0$
$\cos x < \frac{1}{2}$
Решением этого неравенства являются интервалы $(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как функция непрерывна на всей числовой оси, концы интервалов можно включить. Функция убывает на промежутках $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k]$, $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: промежутки возрастания: $[-\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$; промежутки убывания: $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{5\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.

300. Докажите, что функция $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 7x - 11$ является возрастающей.

Для того чтобы доказать, что дифференцируемая функция является возрастающей на всей области определения, достаточно показать, что её производная неотрицательна для всех действительных значений аргумента. Если производная строго положительна, то функция является строго возрастающей.

Заданная функция: $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 7x - 11$.

Нахождение производной функции

Найдём производную функции $f(x)$ по правилам дифференцирования:

$f'(x) = (\frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 7x - 11)'$

$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot (x^3)' - 3 \cdot (x^2)' + 7 \cdot (x)' - (11)'$

$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot 3x^2 - 3 \cdot 2x + 7 \cdot 1 - 0$

$f'(x) = 2x^2 - 6x + 7$

Анализ знака производной

Теперь необходимо исследовать знак производной $f'(x) = 2x^2 - 6x + 7$. Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как старший коэффициент $a = 2$ положителен, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить, пересекает ли парабола ось абсцисс (т.е. может ли производная быть равной нулю или отрицательной), вычислим дискриминант $D$ квадратного трёхчлена:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 36 - 56 = -20$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $2x^2 - 6x + 7 = 0$ не имеет действительных корней. Это означает, что график функции $y = f'(x)$ не пересекает и не касается оси Ox.

Так как ветви параболы направлены вверх и она не имеет точек пересечения с осью Ox, её график полностью расположен выше оси Ox. Следовательно, значение производной $f'(x)$ всегда положительно при любом $x \in \mathbb{R}$.

Другой способ показать это — выделить полный квадрат:

$f'(x) = 2x^2 - 6x + 7 = 2(x^2 - 3x) + 7 = 2(x^2 - 3x + 2.25 - 2.25) + 7$

$f'(x) = 2(x - 1.5)^2 - 4.5 + 7$

$f'(x) = 2(x - 1.5)^2 + 2.5$

Поскольку выражение $(x-1.5)^2$ всегда неотрицательно (т.е. $(x-1.5)^2 \ge 0$), то наименьшее значение $f'(x)$ достигается при $x=1.5$ и равно $2.5$. Таким образом, $f'(x) \ge 2.5$ для всех $x$, что означает, что производная всегда строго положительна.

Вывод

Так как производная функции $f'(x)$ положительна при всех действительных значениях $x$, функция $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x^2 + 7x - 11$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: Утверждение доказано. Функция является возрастающей, так как ее производная $f'(x) = 2x^2 - 6x + 7$ строго больше нуля для любого действительного числа $x$.

301. Найдите, при каких значениях $a$ возрастает на $R$ функция:

1) $f(x) = (a - 1)x^2 + 6x - 7;$

2) $f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} + 9x - 5.$

1) Дана функция $f(x) = (a-1)x^2 + 6x - 7$.

Функция является возрастающей на всей числовой прямой $\mathbb{R}$ тогда и только тогда, когда ее производная $f'(x)$ неотрицательна для всех $x \in \mathbb{R}$, то есть $f'(x) \geq 0$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = ((a-1)x^2 + 6x - 7)' = 2(a-1)x + 6$.

Теперь необходимо решить неравенство $2(a-1)x + 6 \geq 0$ так, чтобы оно выполнялось для любого $x \in \mathbb{R}$.

Это линейная функция относительно $x$. Линейная функция $y = kx+b$ может сохранять знак на всей числовой прямой только в том случае, если ее угловой коэффициент $k=0$. Если $k \neq 0$, то функция будет принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Следовательно, коэффициент при $x$ должен быть равен нулю:

$2(a-1) = 0$

$a-1 = 0$

$a = 1$

При $a=1$ производная принимает вид $f'(x) = 2(1-1)x + 6 = 6$. Неравенство $6 \geq 0$ верно для всех $x \in \mathbb{R}$.

Таким образом, функция возрастает на $\mathbb{R}$ только при $a=1$.

Ответ: $a=1$.

2) Дана функция $f(x) = \frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} + 9x - 5$.

Функция возрастает на $\mathbb{R}$, если ее производная $f'(x) \geq 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (\frac{x^3}{3} + \frac{ax^2}{2} + 9x - 5)' = \frac{3x^2}{3} + \frac{2ax}{2} + 9 = x^2 + ax + 9$.

Теперь нужно найти значения параметра $a$, при которых неравенство $x^2 + ax + 9 \geq 0$ выполняется для всех $x \in \mathbb{R}$.

Левая часть неравенства представляет собой квадратичную функцию $y(x) = x^2 + ax + 9$. Ее график — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число).

Парабола с ветвями вверх будет неотрицательной на всей числовой прямой, если она не имеет точек пересечения с осью $Ox$ или имеет только одну точку касания. Это условие выполняется, если дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $x^2 + ax + 9 = 0$ меньше или равен нулю ($D \leq 0$).

Вычислим дискриминант:

$D = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = a^2 - 36$.

Решим неравенство $D \leq 0$:

$a^2 - 36 \leq 0$

$a^2 \leq 36$

$|a| \leq 6$

$-6 \leq a \leq 6$.

Следовательно, функция возрастает на $\mathbb{R}$ при всех значениях $a$ из отрезка $[-6, 6]$.

Ответ: $a \in [-6, 6]$.

302. На рисунке 30 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-9; 8]$. Укажите:

1) критические точки функции;

2) точки минимума;

3) точки максимума.

Рис. 30

1) критические точки функции

Критические точки функции — это внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.
На графике производная $f'(x) = 0$ в точках, где касательная к графику горизонтальна. Это происходит в точках локальных экстремумов (вершины и впадины). На данном графике это точки с абсциссами $x = -6$, $x = -3$ и $x = 2$.
Производная $f'(x)$ не существует в точках, где график имеет излом (острый угол). На данном графике это точка с абсциссой $x = 6$.
Объединив эти точки, получаем все критические точки функции на данном интервале.

Ответ: -6; -3; 2; 6.

2) точки минимума

Точки минимума — это точки, в которых убывание функции сменяется возрастанием. На графике они соответствуют локальным минимумам ("впадинам").
Из графика видно, что функция имеет две точки минимума:
- $x = -3$ (здесь функция переходит от убывания к возрастанию).
- $x = 6$ (здесь, в точке излома, функция также переходит от убывания к возрастанию).

Ответ: -3; 6.

3) точки максимума

Точки максимума — это точки, в которых возрастание функции сменяется убыванием. На графике они соответствуют локальным максимумам ("вершинам" или "пикам").
Из графика видно, что функция имеет две точки максимума:
- $x = -6$ (здесь функция переходит от возрастания к убыванию).
- $x = 2$ (здесь функция также переходит от возрастания к убыванию).

Ответ: -6; 2.