Страница 159 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

317. Исследуйте функцию и постройте её график:

1) $f(x) = x - \sqrt{x - 2}$;

2) $f(x) = \frac{x^2}{x - 3}$;

3) $f(x) = x\sqrt{6 - x^2}$.

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Область определения функции $D(f) = [0, +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

Область определения несимметрична относительно нуля, поэтому функция не является ни четной, ни нечетной. Функция непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY: $x=0$, $f(0) = 0 - \sqrt{0} - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.

Пересечение с осью OX: $f(x)=0$, $x - \sqrt{x} - 2 = 0$.

Сделаем замену $t = \sqrt{x}$, где $t \ge 0$.

$t^2 - t - 2 = 0$.

Корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = -1$. Так как $t \ge 0$, подходит только $t=2$.

Обратная замена: $\sqrt{x} = 2 \implies x = 4$. Точка $(4, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей области определения.

Проверим наличие наклонных асимптот $y=kx+b$ при $x \to +\infty$.

$k = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x - \sqrt{x} - 2}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 - \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{2}{x}) = 1$.

$b = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to +\infty} (x - \sqrt{x} - 2 - x) = \lim_{x \to +\infty} (-\sqrt{x} - 2) = -\infty$.

Так как предел для $b$ не является конечным числом, наклонных асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Найдем первую производную:

$f'(x) = (x - \sqrt{x} - 2)' = 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Найдем критические точки: $f'(x) = 0 \implies 1 - \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0 \implies 2\sqrt{x} = 1 \implies \sqrt{x} = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{4}$.

Производная не определена в точке $x=0$, которая является границей области определения.

Исследуем знак производной на интервалах $(0, 1/4)$ и $(1/4, +\infty)$.

При $x \in (0, 1/4)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x \in (1/4, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

Точка $x=1/4$ является точкой минимума.

$f_{min} = f(1/4) = \frac{1}{4} - \sqrt{\frac{1}{4}} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} - 2 = -\frac{9}{4} = -2.25$.

Точка минимума: $(1/4, -9/4)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдем вторую производную:

$f''(x) = (1 - \frac{1}{2}x^{-1/2})' = \frac{1}{4}x^{-3/2} = \frac{1}{4\sqrt{x^3}}$.

При всех $x > 0$, $f''(x) > 0$. Следовательно, функция является вогнутой (выпуклой вниз) на всей области определения. Точек перегиба нет.

Построение графика.

График начинается в точке $(0, -2)$, убывает до точки минимума $(0.25, -2.25)$, затем возрастает, пересекая ось OX в точке $(4, 0)$, и уходит в бесконечность.

Ответ: Функция определена при $x \ge 0$. Пересекает оси в точках $(0, -2)$ и $(4, 0)$. Имеет точку минимума $(1/4, -9/4)$. Убывает на $[0, 1/4]$ и возрастает на $[1/4, +\infty)$. Функция вогнута на всей области определения. Асимптот не имеет.

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Знаменатель не должен быть равен нулю: $x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$.

Область определения функции $D(f) = (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$f(-x) = \frac{(-x)^2}{-x-3} = -\frac{x^2}{x+3}$. Так как $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$, функция является функцией общего вида. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY: $x=0$, $f(0) = \frac{0^2}{0-3} = 0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью OX: $f(x)=0$, $\frac{x^2}{x-3} = 0 \implies x^2 = 0 \implies x=0$. Точка $(0, 0)$.

4. Асимптоты.

Вертикальная асимптота: $x=3$.

$\lim_{x \to 3^-} \frac{x^2}{x-3} = -\infty$, $\lim_{x \to 3^+} \frac{x^2}{x-3} = +\infty$.

Наклонная асимптота $y=kx+b$:

$k = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x(x-3)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x-3} = 1$.

$b = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - kx) = \lim_{x \to \pm\infty} (\frac{x^2}{x-3} - x) = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - x^2 + 3x}{x-3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{x-3} = 3$.

Наклонная асимптота: $y=x+3$.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Первая производная: $f'(x) = \frac{2x(x-3) - x^2}{(x-3)^2} = \frac{2x^2 - 6x - x^2}{(x-3)^2} = \frac{x^2-6x}{(x-3)^2} = \frac{x(x-6)}{(x-3)^2}$.

Критические точки: $f'(x)=0 \implies x(x-6)=0 \implies x=0, x=6$.

Знак $f'(x)$ зависит от знака числителя $x(x-6)$.

При $x \in (-\infty, 0) \cup (6, +\infty)$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

При $x \in (0, 3) \cup (3, 6)$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

В точке $x=0$ производная меняет знак с $+$ на $-$, это точка локального максимума. $f(0)=0$. Точка максимума $(0, 0)$.

В точке $x=6$ производная меняет знак с $-$ на $+$, это точка локального минимума. $f(6) = \frac{6^2}{6-3} = \frac{36}{3} = 12$. Точка минимума $(6, 12)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Вторая производная: $f''(x) = (\frac{x^2-6x}{(x-3)^2})' = \frac{(2x-6)(x-3)^2 - (x^2-6x) \cdot 2(x-3)}{(x-3)^4} = \frac{2(x-3)^2 - 2(x^2-6x)}{(x-3)^3} = \frac{2(x^2-6x+9) - 2x^2+12x}{(x-3)^3} = \frac{18}{(x-3)^3}$.

При $x < 3$, $f''(x) < 0$, функция выпуклая (выпуклая вверх).

При $x > 3$, $f''(x) > 0$, функция вогнутая (выпуклая вниз).

Точек перегиба нет.

Построение графика.

График состоит из двух ветвей, разделенных вертикальной асимптотой $x=3$. Левая ветвь возрастает от асимптоты $y=x+3$ до точки максимума $(0, 0)$, затем убывает вдоль асимптоты $x=3$ к $-\infty$. Правая ветвь убывает от $+\infty$ вдоль асимптоты $x=3$ до точки минимума $(6, 12)$, затем возрастает, приближаясь к асимптоте $y=x+3$.

Ответ: Функция определена для всех $x \ne 3$. Имеет вертикальную асимптоту $x=3$ и наклонную асимптоту $y=x+3$. Пересекает оси в точке $(0, 0)$. Точка локального максимума $(0, 0)$, точка локального минимума $(6, 12)$. Возрастает на $(-\infty, 0)$ и $(6, +\infty)$, убывает на $(0, 3)$ и $(3, 6)$. Выпуклая на $(-\infty, 3)$ и вогнутая на $(3, +\infty)$.

Проведем полное исследование функции.

1. Область определения.

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $6-x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 6 \implies -\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$.

Область определения функции $D(f) = [-\sqrt{6}, \sqrt{6}]$.

2. Четность, нечетность, периодичность.

$f(-x) = (-x)\sqrt{6-(-x)^2} = -x\sqrt{6-x^2} = -f(x)$. Функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Непериодическая.

3. Точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью OY: $x=0$, $f(0)=0$. Точка $(0, 0)$.

Пересечение с осью OX: $f(x)=0$, $x\sqrt{6-x^2} = 0 \implies x=0$ или $6-x^2=0 \implies x = \pm\sqrt{6}$. Точки $(-\sqrt{6}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{6}, 0)$.

4. Асимптоты.

Так как область определения - замкнутый отрезок, асимптот нет.

5. Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума.

Первая производная: $f'(x) = (x\sqrt{6-x^2})' = \sqrt{6-x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{6-x^2}} = \frac{6-x^2-x^2}{\sqrt{6-x^2}} = \frac{6-2x^2}{\sqrt{6-x^2}}$.

Критические точки: $f'(x)=0 \implies 6-2x^2=0 \implies x^2=3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.

Знаки производной: $f'(x)$ имеет тот же знак, что и $6-2x^2$.

При $x \in (-\sqrt{6}, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, \sqrt{6})$, $f'(x) < 0$, функция убывает.

При $x \in (-\sqrt{3}, \sqrt{3})$, $f'(x) > 0$, функция возрастает.

В точке $x=-\sqrt{3}$ - минимум. $f(-\sqrt{3}) = -\sqrt{3}\sqrt{6-3} = -3$. Точка минимума $(-\sqrt{3}, -3)$.

В точке $x=\sqrt{3}$ - максимум. $f(\sqrt{3}) = \sqrt{3}\sqrt{6-3} = 3$. Точка максимума $(\sqrt{3}, 3)$.

Также имеем значения на концах отрезка: $f(-\sqrt{6})=0, f(\sqrt{6})=0$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Вторая производная: $f''(x) = (\frac{6-2x^2}{\sqrt{6-x^2}})' = \frac{-4x\sqrt{6-x^2}-(6-2x^2)\frac{-x}{\sqrt{6-x^2}}}{6-x^2} = \frac{-4x(6-x^2)+x(6-2x^2)}{(6-x^2)\sqrt{6-x^2}} = \frac{2x^3-18x}{(6-x^2)^{3/2}} = \frac{2x(x^2-9)}{(6-x^2)^{3/2}}$.

$f''(x) = 0 \implies 2x(x^2-9)=0 \implies x=0, x=\pm 3$. В область определения входит только $x=0$.

В интервале $(-\sqrt{6}, \sqrt{6})$, выражение $(x^2-9)$ отрицательно. Знак $f''(x)$ противоположен знаку $x$.

При $x \in (-\sqrt{6}, 0)$, $f''(x) > 0$, функция вогнутая (выпуклая вниз).

При $x \in (0, \sqrt{6})$, $f''(x) < 0$, функция выпуклая (выпуклая вверх).

Точка $x=0$ является точкой перегиба. $f(0)=0$. Точка перегиба $(0, 0)$.

Построение графика.

График представляет собой замкнутую кривую, симметричную относительно начала координат. Он начинается в точке $(-\sqrt{6}, 0)$, убывает до точки минимума $(-\sqrt{3}, -3)$, затем возрастает, проходя через точку перегиба в начале координат, до точки максимума $(\sqrt{3}, 3)$, после чего убывает до точки $(\sqrt{6}, 0)$.

Ответ: Функция определена на отрезке $[-\sqrt{6}, \sqrt{6}]$. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. Пересекает ось абсцисс в точках $(-\sqrt{6}, 0)$, $(0, 0)$, $(\sqrt{6}, 0)$. Точка минимума $(-\sqrt{3}, -3)$, точка максимума $(\sqrt{3}, 3)$. Возрастает на $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$, убывает на $[-\sqrt{6}, -\sqrt{3}]$ и $[\sqrt{3}, \sqrt{6}]$. Вогнутая на $(-\sqrt{6}, 0)$ и выпуклая на $(0, \sqrt{6})$. Точка перегиба $(0, 0)$.