Номер 295, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

295. Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции $f(x) = x^3 - x^2 + 4x - 5$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

Для того чтобы вычислить площадь треугольника, образованного осями координат и касательной, нам необходимо сначала найти уравнение этой касательной.

Общее уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Нам дана функция $f(x) = x^3 - x^2 + 4x - 5$ и точка касания с абсциссой $x_0 = 1$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(1) = 1^3 - 1^2 + 4(1) - 5 = 1 - 1 + 4 - 5 = -1$.
Таким образом, точка касания имеет координаты $(1, -1)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (x^3 - x^2 + 4x - 5)' = 3x^2 - 2x + 4$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$ для нахождения углового коэффициента касательной:
$f'(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 4 = 3 - 2 + 4 = 5$.

4. Подставим найденные значения $f(1) = -1$ и $f'(1) = 5$ в уравнение касательной:
$y = -1 + 5(x - 1)$
$y = -1 + 5x - 5$
$y = 5x - 6$.
Это и есть уравнение искомой касательной.

Теперь найдем точки пересечения касательной $y = 5x - 6$ с осями координат.
- Точка пересечения с осью ординат (Oy) находится при $x=0$:
$y = 5(0) - 6 = -6$.
Координаты точки пересечения с Oy: $(0, -6)$.
- Точка пересечения с осью абсцисс (Ox) находится при $y=0$:
$0 = 5x - 6$
$5x = 6$
$x = \frac{6}{5} = 1.2$.
Координаты точки пересечения с Ox: $(\frac{6}{5}, 0)$.

Треугольник, образованный касательной и осями координат, является прямоугольным. Его вершины находятся в точках $(0, 0)$, $(\frac{6}{5}, 0)$ и $(0, -6)$. Длины его катетов равны абсолютным значениям координат точек пересечения с осями:
Длина катета на оси Ox: $a = |\frac{6}{5}| = \frac{6}{5}$.
Длина катета на оси Oy: $b = |-6| = 6$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{5} \cdot 6 = \frac{36}{10} = 3.6$.

Ответ: 3.6