Номер 290, страница 155 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

290. Составьте уравнение касательной к графику функции $f(x) = \frac{x-3}{x^2-3}$ в точке его пересечения с осью абсцисс.

Уравнение касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задается формулой:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Для того чтобы составить уравнение, нам нужно найти:

1. Абсциссу точки касания $x_0$.
2. Значение функции в этой точке $f(x_0)$.
3. Производную функции $f'(x)$.
4. Значение производной в точке касания $f'(x_0)$.

1. Нахождение точки касания

По условию, касательная проводится в точке пересечения графика функции с осью абсцисс. В точке пересечения с осью абсцисс ордината (значение функции) равна нулю: $f(x) = 0$.

Найдем абсциссу этой точки, решив уравнение:

$\frac{x-3}{x^2-3} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Приравняем числитель к нулю:

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

Проверим, не обращается ли знаменатель в нуль при этом значении $x$:

$3^2 - 3 = 9 - 3 = 6 \neq 0$

Следовательно, абсцисса точки касания $x_0 = 3$. Значение функции в этой точке $f(x_0) = f(3) = 0$. Таким образом, точка касания — $(3; 0)$.

2. Нахождение производной функции

Найдем производную функции $f(x) = \frac{x-3}{x^2-3}$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Пусть $u(x) = x - 3$ и $v(x) = x^2 - 3$. Тогда $u'(x) = 1$ и $v'(x) = 2x$.

$f'(x) = \frac{(x-3)'(x^2-3) - (x-3)(x^2-3)'}{(x^2-3)^2}$

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2-3) - (x-3) \cdot 2x}{(x^2-3)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 - 3 - (2x^2 - 6x)}{(x^2-3)^2}$

$f'(x) = \frac{x^2 - 3 - 2x^2 + 6x}{(x^2-3)^2}$

$f'(x) = \frac{-x^2 + 6x - 3}{(x^2-3)^2}$

3. Нахождение углового коэффициента касательной

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной в точке касания $x_0 = 3$.

$k = f'(3) = \frac{-(3)^2 + 6(3) - 3}{(3^2-3)^2} = \frac{-9 + 18 - 3}{(9-3)^2} = \frac{6}{6^2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

4. Составление уравнения касательной

Теперь подставим известные значения $x_0 = 3$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = \frac{1}{6}$ в общую формулу уравнения касательной:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

$y = 0 + \frac{1}{6}(x - 3)$

$y = \frac{1}{6}x - \frac{3}{6}$

$y = \frac{1}{6}x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{6}x - \frac{1}{2}$.