Номер 1, страница 160 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Контрольная работа № 1

Тема. Повторение и расширение сведений о функции

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

1) $y = 7x - 2$ на промежутке $[-2; 3];$

2) $y = x^2 - 2x - 3$ на промежутке $[-1; 2].$

1)

Дана функция $y = 7x - 2$ на промежутке $[-2; 3]$.

Это линейная функция вида $y = kx + b$ с угловым коэффициентом $k=7$. Поскольку коэффициент $k > 0$, функция является строго возрастающей на всей своей области определения, включая и заданный промежуток $[-2; 3]$.

Для монотонно возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в его левой границе, а наибольшее – в правой.

Вычислим значения функции на концах промежутка:

Наименьшее значение при $x = -2$:

$y_{наим} = y(-2) = 7 \cdot (-2) - 2 = -14 - 2 = -16$.

Наибольшее значение при $x = 3$:

$y_{наиб} = y(3) = 7 \cdot 3 - 2 = 21 - 2 = 19$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -16, наибольшее значение равно 19.

2)

Дана функция $y = x^2 - 2x - 3$ на промежутке $[-1; 2]$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Коэффициент при старшем члене $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что в своей вершине функция достигает наименьшего значения.

Найдем координату $x$ вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$.

Точка $x_0 = 1$ принадлежит заданному промежутку $[-1; 2]$, так как $-1 \le 1 \le 2$. Следовательно, наименьшее значение функции на этом промежутке будет достигаться в вершине параболы.

Найдем наименьшее значение функции:

$y_{наим} = y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

Наибольшее значение непрерывной функции на отрезке достигается либо в точке локального максимума, либо на одном из концов отрезка. Так как у нашей параболы нет локальных максимумов, наибольшее значение будет на одном из концов промежутка. Вычислим значения функции в точках $x = -1$ и $x = 2$:

$y(-1) = (-1)^2 - 2 \cdot (-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.

$y(2) = 2^2 - 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$.

Сравнивая полученные значения ($0$ и $-3$), видим, что наибольшее из них равно $0$.

$y_{наиб} = 0$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -4, наибольшее значение равно 0.