Страница 148 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

257. Решите уравнение:

1) $\cos x + \cos 7x = 0$

2) $\sin 2x + \sin 8x = 0$

3) $\cos 3x - \cos 4x = 0$

4) $\sin 6x - \sin 3x = 0$

5) $\sin 8x - \sin 2x = 2 \cos 5x$

6) $\tan^3 x - \tan^2 x - 4 \tan x + 4 = 0$

7) $2 \sin x \cos x + \sqrt{3} \sin x - 2 \cos x - \sqrt{3} = 0$

8) $(1 + \sin x) \cot x - \sin x - 1 = 0$

1) $\cos x + \cos 7x = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2 \cos\frac{7x+x}{2} \cos\frac{7x-x}{2} = 0$

$2 \cos(4x) \cos(3x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos(4x) = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos(3x) = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 2x + \sin 8x = 0$

Применим формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2 \sin\frac{8x+2x}{2} \cos\frac{8x-2x}{2} = 0$

$2 \sin(5x) \cos(3x) = 0$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\sin(5x) = 0$

$5x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos(3x) = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{5}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 3x - \cos 4x = 0$

Перепишем уравнение в виде $\cos 3x = \cos 4x$.

Равенство $\cos a = \cos b$ выполняется, если $a = \pm b + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1) $3x = 4x + 2\pi k$

$-x = 2\pi k \Rightarrow x = -2\pi k$, что эквивалентно $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3x = -4x + 2\pi n$

$7x = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что первая серия решений ($x=2\pi k$) является частным случаем второй серии ($x = \frac{2\pi n}{7}$ при $n=7k$). Следовательно, все решения можно объединить в одну формулу.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin 6x - \sin 3x = 0$

Применим формулу разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

$2 \sin\frac{6x-3x}{2} \cos\frac{6x+3x}{2} = 0$

$2 \sin\frac{3x}{2} \cos\frac{9x}{2} = 0$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\sin\frac{3x}{2} = 0$

$\frac{3x}{2} = \pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos\frac{9x}{2} = 0$

$\frac{9x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{9}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{3}, x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{9}, k, n \in \mathbb{Z}$.

5) $\sin 8x - \sin 2x = 2\cos 5x$

Применим формулу разности синусов к левой части уравнения:

$2 \sin\frac{8x-2x}{2} \cos\frac{8x+2x}{2} = 2\cos 5x$

$2 \sin(3x) \cos(5x) = 2\cos 5x$

$2 \sin(3x) \cos(5x) - 2\cos 5x = 0$

$2 \cos(5x) (\sin(3x) - 1) = 0$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos(5x) = 0$

$5x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin(3x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(3x) = 1$

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.

6) $\operatorname{tg}^3 x - \operatorname{tg}^2 x - 4\operatorname{tg} x + 4 = 0$

Введем замену $t = \operatorname{tg} x$. Уравнение примет вид:

$t^3 - t^2 - 4t + 4 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$t^2(t - 1) - 4(t - 1) = 0$

$(t^2 - 4)(t - 1) = 0$

$(t - 2)(t + 2)(t - 1) = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 1, t_2 = 2, t_3 = -2$.

Возвращаемся к замене:

1) $\operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\operatorname{tg} x = 2 \Rightarrow x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

3) $\operatorname{tg} x = -2 \Rightarrow x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi m = -\operatorname{arctg}(2) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n, x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi m, k, n, m \in \mathbb{Z}$.

7) $2\sin x \cos x + \sqrt{3} \sin x - 2\cos x - \sqrt{3} = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$\sin x (2\cos x + \sqrt{3}) - (2\cos x + \sqrt{3}) = 0$

$(\sin x - 1)(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

8) $(1 + \sin x)\operatorname{ctg} x - \sin x - 1 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $\operatorname{ctg} x$ определен, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение, вынеся общий множитель за скобки:

$(1 + \sin x)\operatorname{ctg} x - (1 + \sin x) = 0$

$(1 + \sin x)(\operatorname{ctg} x - 1) = 0$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $1 + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -1$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $\sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = -1 \neq 0$.

2) $\operatorname{ctg} x - 1 = 0 \Rightarrow \operatorname{ctg} x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $\sin(\frac{\pi}{4} + \pi m) = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi m, n, m \in \mathbb{Z}$.

258. Решите уравнение:

1) $\sin 3x + \cos 2x = 0;$

2) $\sin \left( \frac{\pi}{4} + x \right) - \cos \left( \frac{\pi}{4} + x \right) = 1;$

3) $\sin 3x + \sin x = \sqrt{2} \sin 2x;$

4) $\cos x + \cos 5x = \cos 3x + \cos 7x.$

1) $ \sin3x + \cos2x = 0 $

Воспользуемся формулой приведения $ \cos\alpha = \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) $, чтобы привести уравнение к одному наименованию функции.

$ \sin3x + \sin(\frac{\pi}{2} - 2x) = 0 $

Применим формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $.

$ 2\sin(\frac{3x + \frac{\pi}{2} - 2x}{2})\cos(\frac{3x - (\frac{\pi}{2} - 2x)}{2}) = 0 $

$ 2\sin(\frac{x + \frac{\pi}{2}}{2})\cos(\frac{5x - \frac{\pi}{2}}{2}) = 0 $

$ \sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4})\cos(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $ \sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) = 0 $

$ \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} + n\pi $

$ x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos(\frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4}) = 0 $

$ \frac{5x}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ \frac{5x}{2} = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + n\pi $

$ \frac{5x}{2} = \frac{3\pi}{4} + n\pi $

$ 5x = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi $

$ x = \frac{3\pi}{10} + \frac{2n\pi}{5} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2n\pi, \quad x = \frac{3\pi}{10} + \frac{2n\pi}{5}, \quad n \in \mathbb{Z} $

2) $ \sin(\frac{\pi}{4} + x) - \cos(\frac{\pi}{4} + x) = 1 $

Воспользуемся методом введения вспомогательного угла. Уравнение имеет вид $ a\sin\alpha - b\cos\alpha = c $, где $ a=1, b=1 $.

Умножим и разделим левую часть на $ \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} $.

$ \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin(\frac{\pi}{4} + x) - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos(\frac{\pi}{4} + x)) = 1 $

Заменим $ \frac{1}{\sqrt{2}} $ на $ \cos\frac{\pi}{4} $ и $ \sin\frac{\pi}{4} $ соответственно.

$ \sqrt{2}(\cos\frac{\pi}{4}\sin(\frac{\pi}{4} + x) - \sin\frac{\pi}{4}\cos(\frac{\pi}{4} + x)) = 1 $

Выражение в скобках является синусом разности $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $.

$ \sqrt{2}\sin((\frac{\pi}{4} + x) - \frac{\pi}{4}) = 1 $

$ \sqrt{2}\sin x = 1 $

$ \sin x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $

Решения этого уравнения:

$ x = n\pi + (-1)^n \arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) $

$ x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = n\pi + (-1)^n \frac{\pi}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $

3) $ \sin3x + \sin x = \sqrt{2}\sin2x $

Применим к левой части формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2\sin(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $.

$ 2\sin(\frac{3x+x}{2})\cos(\frac{3x-x}{2}) = \sqrt{2}\sin2x $

$ 2\sin2x\cos x = \sqrt{2}\sin2x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки.

$ 2\sin2x\cos x - \sqrt{2}\sin2x = 0 $

$ \sin2x(2\cos x - \sqrt{2}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $ \sin2x = 0 $

$ 2x = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{n\pi}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

2. $ 2\cos x - \sqrt{2} = 0 $

$ 2\cos x = \sqrt{2} $

$ \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2} $

$ x = \pm \frac{\pi}{4} + 2n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{n\pi}{2}, \quad x = \pm \frac{\pi}{4} + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $

4) $ \cos x + \cos5x = \cos3x + \cos7x $

Сгруппируем слагаемые и применим формулу суммы косинусов $ \cos A + \cos B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\cos(\frac{A-B}{2}) $ к обеим частям уравнения.

$ \cos5x + \cos x = \cos7x + \cos3x $

$ 2\cos(\frac{5x+x}{2})\cos(\frac{5x-x}{2}) = 2\cos(\frac{7x+3x}{2})\cos(\frac{7x-3x}{2}) $

$ 2\cos3x\cos2x = 2\cos5x\cos2x $

Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель за скобки.

$ 2\cos3x\cos2x - 2\cos5x\cos2x = 0 $

$ 2\cos2x(\cos3x - \cos5x) = 0 $

Получаем два случая:

1. $ \cos2x = 0 $

$ 2x = \frac{\pi}{2} + n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

2. $ \cos3x - \cos5x = 0 $

Применим формулу разности косинусов $ \cos A - \cos B = -2\sin(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2}) $.

$ -2\sin(\frac{3x+5x}{2})\sin(\frac{3x-5x}{2}) = 0 $

$ -2\sin(4x)\sin(-x) = 0 $

$ 2\sin(4x)\sin x = 0 $

Это дает еще два случая:

а) $ \sin x = 0 \implies x = n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $

б) $ \sin4x = 0 \implies 4x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{4} $, где $ n \in \mathbb{Z} $

Теперь объединим все полученные решения: $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} $, $ x = n\pi $ и $ x = \frac{n\pi}{4} $.

Заметим, что первая серия решений $ x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2} = \frac{(2n+1)\pi}{4} $ (нечетные кратные $ \frac{\pi}{4} $) и вторая серия $ x = n\pi = \frac{4n\pi}{4} $ (кратные $ \frac{\pi}{4} $ с коэффициентом, делящимся на 4) являются подмножествами третьей серии $ x = \frac{n\pi}{4} $, которая включает все целые кратные $ \frac{\pi}{4} $.

Следовательно, все решения можно описать одной формулой.

Ответ: $ x = \frac{n\pi}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $

259. Решите уравнение:

1) $\sin 3x + 2\sin^2 2x = 1$;

2) $1 - \cos 8x = \sqrt{3} \sin 4x$;

3) $\sin^2 x + \sin^2 7x = 1$;

4) $\cos^2 4x + \cos^2 6x = \cos^2 3x + \cos^2 7x$.

1) $\sin{3x} + 2\sin^2{2x} = 1$

Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos{2\alpha} = 1 - 2\sin^2{\alpha} $. Из нее следует, что $ 2\sin^2{\alpha} = 1 - \cos{2\alpha} $.

В нашем случае $ \alpha = 2x $, поэтому $ 2\sin^2{2x} = 1 - \cos{4x} $.

Подставим это в исходное уравнение:

$ \sin{3x} + (1 - \cos{4x}) = 1 $

$ \sin{3x} - \cos{4x} = 0 $

$ \sin{3x} = \cos{4x} $

Используем формулу приведения $ \cos{\alpha} = \sin{(\frac{\pi}{2} - \alpha)} $:

$ \sin{3x} = \sin{(\frac{\pi}{2} - 4x)} $

Решения уравнения вида $ \sin{A} = \sin{B} $ находятся по формулам: $ A = B + 2\pi k $ или $ A = \pi - B + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

Рассмотрим два случая:

а) $ 3x = \frac{\pi}{2} - 4x + 2\pi k $

$ 7x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $

$ x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z} $

б) $ 3x = \pi - (\frac{\pi}{2} - 4x) + 2\pi n $

$ 3x = \pi - \frac{\pi}{2} + 4x + 2\pi n $

$ 3x = \frac{\pi}{2} + 4x + 2\pi n $

$ -x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n $

$ x = -\frac{\pi}{2} - 2\pi n $. Так как $ n $ – любое целое число, то $ -n $ тоже любое целое. Можем записать $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \frac{\pi}{14} + \frac{2\pi k}{7}, x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, $ где $ k, m \in \mathbb{Z} $.

2) $1 - \cos{8x} = \sqrt{3}\sin{4x}$

Используем формулу косинуса двойного угла $ 1 - \cos{2\alpha} = 2\sin^2{\alpha} $.

В данном случае $ \alpha = 4x $, поэтому $ 1 - \cos{8x} = 2\sin^2{4x} $.

Уравнение принимает вид:

$ 2\sin^2{4x} = \sqrt{3}\sin{4x} $

$ 2\sin^2{4x} - \sqrt{3}\sin{4x} = 0 $

Вынесем $ \sin{4x} $ за скобки:

$ \sin{4x}(2\sin{4x} - \sqrt{3}) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а) $ \sin{4x} = 0 $

$ 4x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi k}{4}, k \in \mathbb{Z} $

б) $ 2\sin{4x} - \sqrt{3} = 0 $

$ \sin{4x} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

$ 4x = (-1)^n \arcsin{(\frac{\sqrt{3}}{2})} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ 4x = (-1)^n \frac{\pi}{3} + \pi n $

$ x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi k}{4}, x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{4}, $ где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

3) $\sin^2{x} + \sin^2{7x} = 1$

Используем формулу понижения степени $ \sin^2{\alpha} = \frac{1 - \cos{2\alpha}}{2} $.

Применим ее к обоим слагаемым:

$ \frac{1 - \cos{2x}}{2} + \frac{1 - \cos{14x}}{2} = 1 $

Умножим обе части уравнения на 2:

$ 1 - \cos{2x} + 1 - \cos{14x} = 2 $

$ 2 - (\cos{2x} + \cos{14x}) = 2 $

$ \cos{2x} + \cos{14x} = 0 $

Воспользуемся формулой суммы косинусов $ \cos{A} + \cos{B} = 2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}} $:

$ 2\cos{\frac{2x+14x}{2}}\cos{\frac{14x-2x}{2}} = 0 $

$ 2\cos{8x}\cos{6x} = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

а) $ \cos{8x} = 0 $

$ 8x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z} $

б) $ \cos{6x} = 0 $

$ 6x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} $

$ x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, n \in \mathbb{Z} $

Ответ: $ x = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{8}, x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{6}, $ где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

4) $\cos^2{4x} + \cos^2{6x} = \cos^2{3x} + \cos^2{7x}$

Используем формулу понижения степени $ \cos^2{\alpha} = \frac{1 + \cos{2\alpha}}{2} $.

$ \frac{1 + \cos{8x}}{2} + \frac{1 + \cos{12x}}{2} = \frac{1 + \cos{6x}}{2} + \frac{1 + \cos{14x}}{2} $

Умножим обе части на 2:

$ 1 + \cos{8x} + 1 + \cos{12x} = 1 + \cos{6x} + 1 + \cos{14x} $

$ \cos{8x} + \cos{12x} = \cos{6x} + \cos{14x} $

Перегруппируем слагаемые:

$ \cos{12x} - \cos{14x} = \cos{6x} - \cos{8x} $

Применим формулу разности косинусов $ \cos{A} - \cos{B} = -2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}} $:

Левая часть: $ -2\sin{\frac{12x+14x}{2}}\sin{\frac{12x-14x}{2}} = -2\sin{13x}\sin{(-x)} = 2\sin{13x}\sin{x} $.

Правая часть: $ -2\sin{\frac{6x+8x}{2}}\sin{\frac{6x-8x}{2}} = -2\sin{7x}\sin{(-x)} = 2\sin{7x}\sin{x} $.

Получаем уравнение:

$ 2\sin{13x}\sin{x} = 2\sin{7x}\sin{x} $

$ 2\sin{x}(\sin{13x} - \sin{7x}) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

а) $ \sin{x} = 0 $

$ x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $

б) $ \sin{13x} - \sin{7x} = 0 $

$ \sin{13x} = \sin{7x} $

Решения этого уравнения имеют вид $ 13x = 7x + 2\pi n $ или $ 13x = \pi - 7x + 2\pi m $, где $ n, m \in \mathbb{Z} $.

б.1) $ 13x = 7x + 2\pi n $

$ 6x = 2\pi n $

$ x = \frac{\pi n}{3}, n \in \mathbb{Z} $

б.2) $ 13x = \pi - 7x + 2\pi m $

$ 20x = \pi + 2\pi m $

$ x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi m}{10}, m \in \mathbb{Z} $

Заметим, что серия решений $ x = \pi k $ является подмножеством серии $ x = \frac{\pi n}{3} $ (при $ n=3k $), поэтому первую серию можно не включать в итоговый ответ.

Ответ: $ x = \frac{\pi n}{3}, x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi m}{10}, $ где $ n, m \in \mathbb{Z} $.

260. Решите уравнение:

1) $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos 5x$;

2) $\sqrt{2}(\sin 2x - \cos 2x) = \cos 4x$;

3) $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 2\sin 3x$;

4) $\cos 7x \cos 3x = \cos 4x$;

5) $\sin 7x \cos 5x = \cos 3x \sin 5x$;

6) $\sin 9x = 2 \cos \left(\frac{3\pi}{2} + 3x\right)$.

1) Исходное уравнение: $\sin x + \cos x = \sqrt{2} \cos 5x$.
Преобразуем левую часть уравнения, используя метод введения вспомогательного угла. Выражение вида $a \sin x + b \cos x$ можно представить как $R \cos(x - \alpha)$, где $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos \alpha = \frac{b}{R}$, $\sin \alpha = \frac{a}{R}$. В нашем случае $a=1, b=1$, поэтому $R = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Тогда $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ и $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$, откуда $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, $\sin x + \cos x = \sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим это в исходное уравнение: $\sqrt{2}\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\cos 5x$
Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $\cos\left(x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos 5x$
Это равенство выполняется, если аргументы косинусов равны или противоположны с точностью до периода $2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Рассмотрим два случая:
а) $x - \frac{\pi}{4} = 5x + 2\pi k$
$-4x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$
$x = -\frac{\pi}{16} - \frac{\pi k}{2}$ (или $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{2}$, $m \in \mathbb{Z}$)
б) $x - \frac{\pi}{4} = -5x + 2\pi n$
$6x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{16} + \frac{\pi k}{2}; x = \frac{\pi}{24} + \frac{\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $\sqrt{2}(\sin 2x - \cos 2x) = \cos 4x$.
Преобразуем выражение в скобках с помощью вспомогательного угла. $\sin 2x - \cos 2x = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2x - \frac{1}{\sqrt{2}}\cos 2x\right) = \sqrt{2}\left(\sin 2x \cos\frac{\pi}{4} - \cos 2x \sin\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)$.
Подставим в уравнение: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos 4x$
$2\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \cos 4x$
Используем формулу приведения для синуса: $\sin \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha)$.
$\cos 4x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)$.
$2\sin\left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - 4x\right)$. Это не приводит к простому решению.
Попробуем другой подход. Преобразуем $\cos 4x$. Заметим, что $\cos 4x = \cos\left(2 \cdot \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(2\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)\right)$.
Пусть $y = 2x - \frac{\pi}{4}$. Тогда уравнение примет вид: $2\sin y = -\sin(2y)$
$2\sin y = -2\sin y \cos y$
$2\sin y + 2\sin y \cos y = 0$
$2\sin y (1 + \cos y) = 0$
Отсюда либо $\sin y = 0$, либо $\cos y = -1$.
а) $\sin y = 0 \implies y = \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
$2x - \frac{\pi}{4} = \pi k \implies 2x = \frac{\pi}{4} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}$.
б) $\cos y = -1 \implies y = \pi + 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.
$2x - \frac{\pi}{4} = \pi + 2\pi n \implies 2x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi n \implies x = \frac{5\pi}{8} + \pi n$.
Проверим, не является ли вторая серия решений подмножеством первой. $x = \frac{5\pi}{8} + \pi n = \frac{\pi+4\pi}{8} + \pi n = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi(1+2n)}{2}$. Поскольку $(1+2n)$ — это все нечетные целые числа, вторая серия является частью первой (где $k$ может быть любым целым числом, четным или нечетным).
Следовательно, достаточно записать только первую серию решений.
Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

3) Исходное уравнение: $\cos x + \sqrt{3} \sin x = 2\sin 3x$.
Преобразуем левую часть с помощью вспомогательного угла. $R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$.
Разделим обе части уравнения на 2: $\frac{1}{2}\cos x + \frac{\sqrt{3}}{2}\sin x = \sin 3x$
$\sin\frac{\pi}{6}\cos x + \cos\frac{\pi}{6}\sin x = \sin 3x$
$\sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin 3x$
Равенство синусов $\sin A = \sin B$ выполняется, если $A = B + 2\pi k$ или $A = \pi - B + 2\pi n$.
а) $x + \frac{\pi}{6} = 3x + 2\pi k$
$-2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k$
$x = \frac{\pi}{12} - \pi k$ (или $x = \frac{\pi}{12} + \pi m$, $m \in \mathbb{Z}$)
б) $x + \frac{\pi}{6} = \pi - 3x + 2\pi n$
$4x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n$
$4x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$
$x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \pi k; x = \frac{5\pi}{24} + \frac{\pi n}{2}, k, n \in \mathbb{Z}$.

4) Исходное уравнение: $\cos 7x \cos 3x = \cos 4x$.
Используем формулу преобразования произведения косинусов в сумму: $\cos A \cos B = \frac{1}{2}(\cos(A+B) + \cos(A-B))$.
$\frac{1}{2}(\cos(7x+3x) + \cos(7x-3x)) = \cos 4x$
$\frac{1}{2}(\cos 10x + \cos 4x) = \cos 4x$
$\cos 10x + \cos 4x = 2\cos 4x$
$\cos 10x = \cos 4x$
Равенство выполняется в двух случаях:
а) $10x = 4x + 2\pi k$
$6x = 2\pi k$
$x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.
б) $10x = -4x + 2\pi n$
$14x = 2\pi n$
$x = \frac{\pi n}{7}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}; x = \frac{\pi n}{7}, k, n \in \mathbb{Z}$.

5) Исходное уравнение: $\sin 7x \cos 5x = \cos 3x \sin 5x$.
Используем формулы преобразования произведения в сумму/разность:
$\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) + \sin(A-B))$
$\cos A \sin B = \frac{1}{2}(\sin(A+B) - \sin(A-B))$
Применим их к обеим частям уравнения: $\frac{1}{2}(\sin(7x+5x) + \sin(7x-5x)) = \frac{1}{2}(\sin(3x+5x) - \sin(3x-5x))$
$\frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 2x) = \frac{1}{2}(\sin 8x - \sin(-2x))$
Поскольку $\sin(-2x) = -\sin 2x$, получаем: $\frac{1}{2}(\sin 12x + \sin 2x) = \frac{1}{2}(\sin 8x + \sin 2x)$
Умножим на 2 и вычтем $\sin 2x$ из обеих частей: $\sin 12x = \sin 8x$
Равенство выполняется в двух случаях:
а) $12x = 8x + 2\pi k$
$4x = 2\pi k$
$x = \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.
б) $12x = \pi - 8x + 2\pi n$
$20x = \pi + 2\pi n$
$x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{2}; x = \frac{\pi}{20} + \frac{\pi n}{10}, k, n \in \mathbb{Z}$.

6) Исходное уравнение: $\sin 9x = 2 \cos\left(\frac{3\pi}{2} + 3x\right)$.
Используем формулу приведения для правой части: $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \alpha\right) = \sin \alpha$.
Уравнение принимает вид: $\sin 9x = 2\sin 3x$
Применим формулу синуса тройного угла $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$. Пусть $\alpha = 3x$. $\sin(3 \cdot 3x) = 3\sin 3x - 4\sin^3 3x$
Подставим в уравнение: $3\sin 3x - 4\sin^3 3x = 2\sin 3x$
$\sin 3x - 4\sin^3 3x = 0$
Вынесем $\sin 3x$ за скобки: $\sin 3x (1 - 4\sin^2 3x) = 0$
Это уравнение распадается на два:
а) $\sin 3x = 0$
$3x = \pi k$
$x = \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.
б) $1 - 4\sin^2 3x = 0$
$\sin^2 3x = \frac{1}{4}$
$\sin 3x = \pm \frac{1}{2}$
Это соответствует решениям: $3x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$, $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}; x = \pm \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.

261. Решите уравнение:

1) $\frac{\sin 2x + \sin 6x}{\cos 2x + \cos 6x} = 0;$

2) $\frac{\sin 2x}{1 - \sin x} = 2\cos x.$

1) Исходное уравнение:
$$ \frac{\sin 2x + \sin 6x}{\cos 2x + \cos 6x} = 0 $$Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю:$$ \cos 2x + \cos 6x \neq 0 $$Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:$$ \sin 2x + \sin 6x = 0 $$Для преобразования уравнения воспользуемся формулами суммы тригонометрических функций:$$ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $$$$ \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right) $$Применив эти формулы, получаем:Числитель: $ \sin 2x + \sin 6x = 2 \sin\left(\frac{2x+6x}{2}\right) \cos\left(\frac{6x-2x}{2}\right) = 2 \sin(4x) \cos(2x) $
Знаменатель: $ \cos 2x + \cos 6x = 2 \cos\left(\frac{2x+6x}{2}\right) \cos\left(\frac{6x-2x}{2}\right) = 2 \cos(4x) \cos(2x) $
Уравнение эквивалентно системе:$$ \begin{cases} 2 \sin(4x) \cos(2x) = 0 \\ 2 \cos(4x) \cos(2x) \neq 0 \end{cases} $$Из второго условия системы следует, что $ \cos(4x) \neq 0 $ и $ \cos(2x) \neq 0 $. Из первого уравнения системы следует, что $ \sin(4x) = 0 $ или $ \cos(2x) = 0 $. Поскольку по ОДЗ $ \cos(2x) \neq 0 $, то остается только одно условие:$$ \sin(4x) = 0 $$Решения этого уравнения:$$ 4x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$$$ x = \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z} $$Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли эти решения условиям ОДЗ ($ \cos(4x) \neq 0 $ и $ \cos(2x) \neq 0 $).
Проверяем $ \cos(4x) $:$$ \cos\left(4 \cdot \frac{\pi n}{4}\right) = \cos(\pi n) = (-1)^n $$Это значение никогда не равно нулю, так что условие $ \cos(4x) \neq 0 $ выполняется для всех целых $n$.
Проверяем $ \cos(2x) $:$$ \cos\left(2 \cdot \frac{\pi n}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi n}{2}\right) $$Это выражение равно нулю, если $n$ — нечетное число ($n = 2k+1$). Такие значения $n$ необходимо исключить. Следовательно, $n$ должно быть четным числом. Пусть $ n = 2k $, где $ k \in \mathbb{Z} $. Подставляем $ n = 2k $ в решение для $x$:$$ x = \frac{\pi (2k)}{4} = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $$Ответ: $ x = \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z} $.

2) Исходное уравнение:
$$ \frac{\sin 2x}{1 - \sin x} = 2\cos x $$Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием:$$ 1 - \sin x \neq 0 \implies \sin x \neq 1 $$$$ x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$Преобразуем уравнение. Используем формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:$$ \frac{2 \sin x \cos x}{1 - \sin x} = 2\cos x $$Перенесем все члены в левую часть и вынесем общий множитель $2 \cos x$ за скобки:$$ \frac{2 \sin x \cos x}{1 - \sin x} - 2\cos x = 0 $$$$ 2\cos x \left( \frac{\sin x}{1 - \sin x} - 1 \right) = 0 $$$$ 2\cos x \left( \frac{\sin x - (1 - \sin x)}{1 - \sin x} \right) = 0 $$$$ \frac{2\cos x (2\sin x - 1)}{1 - \sin x} = 0 $$Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю (а знаменатель отличен от нуля, что учтено в ОДЗ).$$ 2\cos x (2\sin x - 1) = 0 $$Это уравнение распадается на два случая:
1) $ \cos x = 0 $
2) $ 2\sin x - 1 = 0 $
Рассмотрим первый случай: $ \cos x = 0 $. Его решения: $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $. Проверим эти решения на соответствие ОДЗ ($ \sin x \neq 1 $).
Если $n$ — четное, $ n = 2k $, то $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $. В этом случае $ \sin x = \sin(\frac{\pi}{2} + 2\pi k) = 1 $. Эти корни не входят в ОДЗ и должны быть исключены.
Если $n$ — нечетное, $ n = 2k+1 $, то $ x = \frac{\pi}{2} + (2k+1)\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(k+1) $. В этом случае $ \sin x = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 $, что удовлетворяет ОДЗ.
Таким образом, из первого случая получаем серию решений: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.
Рассмотрим второй случай: $ 2\sin x - 1 = 0 $.$$ \sin x = \frac{1}{2} $$Это значение удовлетворяет ОДЗ ($ \sin x \neq 1 $).
Решения этого уравнения:$$ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$$$ x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$Эти две серии можно объединить одной формулой: $ x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.
Объединяя все найденные решения, получаем окончательный ответ.
Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \quad x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $.

262. Сколько корней уравнения $ \text{tg } 2x \cos 3x + \sin 3x + \sqrt{2} \sin 5x = 0 $ принадлежат промежутку $ \left[ -\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3} \right] $?

1. Упрощение уравнения и нахождение ОДЗ

Исходное уравнение: $tg(2x)cos(3x) + sin(3x) + \sqrt{2}sin(5x) = 0$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием существования тангенса $tg(2x)$, то есть $cos(2x) \neq 0$. Отсюда получаем ограничение на $x$: $2x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, или $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение. Заменим $tg(2x)$ на $\frac{sin(2x)}{cos(2x)}$ и умножим обе части уравнения на $cos(2x)$ (что возможно в силу ОДЗ):

$sin(2x)cos(3x) + sin(3x)cos(2x) + \sqrt{2}sin(5x)cos(2x) = 0$.

Применим формулу синуса суммы $sin(\alpha + \beta) = sin(\alpha)cos(\beta) + cos(\alpha)sin(\beta)$ к первым двум слагаемым:

$sin(2x+3x) + \sqrt{2}sin(5x)cos(2x) = 0$,

$sin(5x) + \sqrt{2}sin(5x)cos(2x) = 0$.

Вынесем общий множитель $sin(5x)$ за скобки:

$sin(5x)(1 + \sqrt{2}cos(2x)) = 0$.

2. Решение полученного уравнения

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

а) $sin(5x) = 0$. Решение: $5x = \pi n$, что дает первую серию корней $x = \frac{\pi n}{5}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $1 + \sqrt{2}cos(2x) = 0$. Отсюда $cos(2x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решение: $2x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$, что дает вторую серию корней $x = \pm \frac{3\pi}{8} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Все полученные корни удовлетворяют ОДЗ.

3. Отбор корней на промежутке $[-\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{3}]$

Найдем, сколько корней из каждой серии принадлежит заданному промежутку.

Для серии $x = \frac{\pi n}{5}$ решим двойное неравенство: $-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi n}{5} \le \frac{\pi}{3}$.

Последовательно деля на $\pi$ и умножая на 5, получаем: $-\frac{5}{4} \le n \le \frac{5}{3}$, или $-1.25 \le n \le 1.66...$.

Этому условию удовлетворяют целые значения $n \in \{-1, 0, 1\}$. Они дают три корня: $x_1 = -\frac{\pi}{5}$, $x_2 = 0$, $x_3 = \frac{\pi}{5}$.

Для серии $x = \frac{3\pi}{8} + \pi m$ решим неравенство $-\frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{8} + \pi m \le \frac{\pi}{3}$. Это приводит к неравенству для $m$: $-\frac{5}{8} \le m \le -\frac{1}{24}$. В этом интервале нет целых значений $m$.

Для серии $x = -\frac{3\pi}{8} + \pi m$ решим неравенство $-\frac{\pi}{4} \le -\frac{3\pi}{8} + \pi m \le \frac{\pi}{3}$. Это приводит к неравенству для $m$: $\frac{1}{8} \le m \le \frac{17}{24}$. В этом интервале также нет целых значений $m$.

Таким образом, на заданном промежутке уравнение имеет ровно 3 корня.

Ответ: 3