Номер 257, страница 148 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

257. Решите уравнение:

1) $\cos x + \cos 7x = 0$

2) $\sin 2x + \sin 8x = 0$

3) $\cos 3x - \cos 4x = 0$

4) $\sin 6x - \sin 3x = 0$

5) $\sin 8x - \sin 2x = 2 \cos 5x$

6) $\tan^3 x - \tan^2 x - 4 \tan x + 4 = 0$

7) $2 \sin x \cos x + \sqrt{3} \sin x - 2 \cos x - \sqrt{3} = 0$

8) $(1 + \sin x) \cot x - \sin x - 1 = 0$

1) $\cos x + \cos 7x = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой суммы косинусов: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2 \cos\frac{7x+x}{2} \cos\frac{7x-x}{2} = 0$

$2 \cos(4x) \cos(3x) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos(4x) = 0$

$4x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos(3x) = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{4}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sin 2x + \sin 8x = 0$

Применим формулу суммы синусов: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha+\beta}{2} \cos\frac{\alpha-\beta}{2}$.

$2 \sin\frac{8x+2x}{2} \cos\frac{8x-2x}{2} = 0$

$2 \sin(5x) \cos(3x) = 0$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\sin(5x) = 0$

$5x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos(3x) = 0$

$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi k}{5}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.

3) $\cos 3x - \cos 4x = 0$

Перепишем уравнение в виде $\cos 3x = \cos 4x$.

Равенство $\cos a = \cos b$ выполняется, если $a = \pm b + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

1) $3x = 4x + 2\pi k$

$-x = 2\pi k \Rightarrow x = -2\pi k$, что эквивалентно $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $3x = -4x + 2\pi n$

$7x = 2\pi n \Rightarrow x = \frac{2\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что первая серия решений ($x=2\pi k$) является частным случаем второй серии ($x = \frac{2\pi n}{7}$ при $n=7k$). Следовательно, все решения можно объединить в одну формулу.

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{7}, k \in \mathbb{Z}$.

4) $\sin 6x - \sin 3x = 0$

Применим формулу разности синусов: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \sin\frac{\alpha-\beta}{2} \cos\frac{\alpha+\beta}{2}$.

$2 \sin\frac{6x-3x}{2} \cos\frac{6x+3x}{2} = 0$

$2 \sin\frac{3x}{2} \cos\frac{9x}{2} = 0$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\sin\frac{3x}{2} = 0$

$\frac{3x}{2} = \pi k \Rightarrow x = \frac{2\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos\frac{9x}{2} = 0$

$\frac{9x}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{9}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{2\pi k}{3}, x = \frac{\pi}{9} + \frac{2\pi n}{9}, k, n \in \mathbb{Z}$.

5) $\sin 8x - \sin 2x = 2\cos 5x$

Применим формулу разности синусов к левой части уравнения:

$2 \sin\frac{8x-2x}{2} \cos\frac{8x+2x}{2} = 2\cos 5x$

$2 \sin(3x) \cos(5x) = 2\cos 5x$

$2 \sin(3x) \cos(5x) - 2\cos 5x = 0$

$2 \cos(5x) (\sin(3x) - 1) = 0$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\cos(5x) = 0$

$5x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\sin(3x) - 1 = 0 \Rightarrow \sin(3x) = 1$

$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}, k, n \in \mathbb{Z}$.

6) $\operatorname{tg}^3 x - \operatorname{tg}^2 x - 4\operatorname{tg} x + 4 = 0$

Введем замену $t = \operatorname{tg} x$. Уравнение примет вид:

$t^3 - t^2 - 4t + 4 = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$t^2(t - 1) - 4(t - 1) = 0$

$(t^2 - 4)(t - 1) = 0$

$(t - 2)(t + 2)(t - 1) = 0$

Корни этого уравнения: $t_1 = 1, t_2 = 2, t_3 = -2$.

Возвращаемся к замене:

1) $\operatorname{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

2) $\operatorname{tg} x = 2 \Rightarrow x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$

3) $\operatorname{tg} x = -2 \Rightarrow x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi m = -\operatorname{arctg}(2) + \pi m, m \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, x = \operatorname{arctg}(2) + \pi n, x = -\operatorname{arctg}(2) + \pi m, k, n, m \in \mathbb{Z}$.

7) $2\sin x \cos x + \sqrt{3} \sin x - 2\cos x - \sqrt{3} = 0$

Разложим левую часть на множители методом группировки:

$\sin x (2\cos x + \sqrt{3}) - (2\cos x + \sqrt{3}) = 0$

$(\sin x - 1)(2\cos x + \sqrt{3}) = 0$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $\sin x - 1 = 0 \Rightarrow \sin x = 1$

$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $2\cos x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \pm \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2\pi k = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, n, k \in \mathbb{Z}$.

8) $(1 + \sin x)\operatorname{ctg} x - \sin x - 1 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ): $\operatorname{ctg} x$ определен, если $\sin x \neq 0$, то есть $x \neq \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Преобразуем уравнение, вынеся общий множитель за скобки:

$(1 + \sin x)\operatorname{ctg} x - (1 + \sin x) = 0$

$(1 + \sin x)(\operatorname{ctg} x - 1) = 0$

Получаем совокупность двух уравнений:

1) $1 + \sin x = 0 \Rightarrow \sin x = -1$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $\sin(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = -1 \neq 0$.

2) $\operatorname{ctg} x - 1 = 0 \Rightarrow \operatorname{ctg} x = 1$

$x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ, так как $\sin(\frac{\pi}{4} + \pi m) = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, x = \frac{\pi}{4} + \pi m, n, m \in \mathbb{Z}$.