Номер 251, страница 147 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Решите уравнение:

1) $ \sin 7x - \cos 7x = 0; $

2) $ \sqrt{3} \cos 2x + \sin 2x = 0; $

3) $ 3 \cos \frac{2x}{5} + 2 \sin \frac{2x}{5} = 0; $

4) $ 8 \sin^2 \frac{x}{6} + 9 \sin \frac{x}{6} \cos \frac{x}{6} + \cos^2 \frac{x}{6} = 0. $

1) $\sin 7x - \cos 7x = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перенесем $\cos 7x$ в правую часть:

$\sin 7x = \cos 7x$

Разделим обе части уравнения на $\cos 7x$. Это преобразование является равносильным, так как если бы $\cos 7x = 0$, то из уравнения следовало бы, что и $\sin 7x = 0$. Однако синус и косинус одного и того же угла не могут одновременно равняться нулю, поскольку это противоречит основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.

$\frac{\sin 7x}{\cos 7x} = 1$

$\tan 7x = 1$

Решая это простейшее тригонометрическое уравнение, получаем:

$7x = \arctan(1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$7x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выразим $x$:

$x = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi n}{7}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{28} + \frac{\pi n}{7}, n \in \mathbb{Z}$.

2) $\sqrt{3} \cos 2x + \sin 2x = 0$

Это также однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Перепишем его в виде:

$\sin 2x = -\sqrt{3} \cos 2x$

Разделим обе части на $\cos 2x \neq 0$ (по той же причине, что и в пункте 1):

$\frac{\sin 2x}{\cos 2x} = -\sqrt{3}$

$\tan 2x = -\sqrt{3}$

Решаем уравнение:

$2x = \arctan(-\sqrt{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$2x = -\frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Находим $x$:

$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

3) $3\cos\frac{2x}{5} + 2\sin\frac{2x}{5} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Запишем его как:

$2\sin\frac{2x}{5} = -3\cos\frac{2x}{5}$

Разделим обе части на $\cos\frac{2x}{5} \neq 0$:

$2\tan\frac{2x}{5} = -3$

$\tan\frac{2x}{5} = -\frac{3}{2}$

Решаем уравнение:

$\frac{2x}{5} = \arctan(-\frac{3}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Используя свойство арктангенса $\arctan(-a) = -\arctan(a)$, получаем:

$\frac{2x}{5} = -\arctan\frac{3}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Выражаем $x$:

$x = \frac{5}{2}(-\arctan\frac{3}{2} + \pi n)$

$x = -\frac{5}{2}\arctan\frac{3}{2} + \frac{5\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{5}{2}\arctan\frac{3}{2} + \frac{5\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

4) $8\sin^2\frac{x}{6} + 9\sin\frac{x}{6}\cos\frac{x}{6} + \cos^2\frac{x}{6} = 0$

Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Разделим обе части уравнения на $\cos^2\frac{x}{6}$. Это возможно, так как если $\cos\frac{x}{6} = 0$, то из уравнения следует $8\sin^2\frac{x}{6} = 0$, то есть $\sin\frac{x}{6} = 0$, что невозможно одновременно.

$\frac{8\sin^2\frac{x}{6}}{\cos^2\frac{x}{6}} + \frac{9\sin\frac{x}{6}\cos\frac{x}{6}}{\cos^2\frac{x}{6}} + \frac{\cos^2\frac{x}{6}}{\cos^2\frac{x}{6}} = 0$

$8\tan^2\frac{x}{6} + 9\tan\frac{x}{6} + 1 = 0$

Сделаем замену $t = \tan\frac{x}{6}$. Уравнение примет вид:

$8t^2 + 9t + 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \cdot 8 \cdot 1 = 81 - 32 = 49 = 7^2$

Найдем корни:

$t_1 = \frac{-9 - \sqrt{49}}{2 \cdot 8} = \frac{-9 - 7}{16} = \frac{-16}{16} = -1$

$t_2 = \frac{-9 + \sqrt{49}}{2 \cdot 8} = \frac{-9 + 7}{16} = \frac{-2}{16} = -\frac{1}{8}$

Вернемся к исходной переменной. Получаем два случая:

1) $\tan\frac{x}{6} = -1$

$\frac{x}{6} = \arctan(-1) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{4} + \pi n$

$x = -\frac{6\pi}{4} + 6\pi n = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2) $\tan\frac{x}{6} = -\frac{1}{8}$

$\frac{x}{6} = \arctan(-\frac{1}{8}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$\frac{x}{6} = -\arctan\frac{1}{8} + \pi k$

$x = -6\arctan\frac{1}{8} + 6\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{3\pi}{2} + 6\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = -6\arctan\frac{1}{8} + 6\pi k, k \in \mathbb{Z}$.