Номер 246, страница 146 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

246. Найдите область значений функции:

1) $y = 3\arcsin x + \frac{\pi}{4}$;

2) $y = 4 - 2 \text{arctg } 2x.$

1) Для нахождения области значений функции $y = 3\arcsin x + \frac{\pi}{4}$ необходимо отталкиваться от области значений стандартной функции $y = \arcsin x$.

Область значений функции арксинус — это отрезок $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$. Запишем это в виде двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{2} \le \arcsin x \le \frac{\pi}{2}$

Теперь последовательно выполним преобразования, чтобы получить исходную функцию:

1. Умножим все части неравенства на 3:

$3 \cdot (-\frac{\pi}{2}) \le 3\arcsin x \le 3 \cdot \frac{\pi}{2}$

$-\frac{3\pi}{2} \le 3\arcsin x \le \frac{3\pi}{2}$

2. Прибавим ко всем частям неравенства $\frac{\pi}{4}$:

$-\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \le 3\arcsin x + \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$

Вычислим левую и правую границы, приведя дроби к общему знаменателю:

$-\frac{6\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \le y \le \frac{6\pi}{4} + \frac{\pi}{4}$

$-\frac{5\pi}{4} \le y \le \frac{7\pi}{4}$

Таким образом, область значений функции $y$ — это отрезок $[-\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}]$.

Ответ: $[-\frac{5\pi}{4}; \frac{7\pi}{4}]$

2) Для нахождения области значений функции $y = 4 - 2 \arctan 2x$ необходимо отталкиваться от области значений стандартной функции $y = \arctan x$.

Область значений функции арктангенс — это интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Аргумент $2x$ не влияет на область значений. Запишем это в виде строгого двойного неравенства:

$-\frac{\pi}{2} < \arctan 2x < \frac{\pi}{2}$

Теперь последовательно выполним преобразования:

1. Умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-2 \cdot (-\frac{\pi}{2}) > -2\arctan 2x > -2 \cdot \frac{\pi}{2}$

$\pi > -2\arctan 2x > -\pi$

Для удобства запишем неравенство в порядке возрастания:

$-\pi < -2\arctan 2x < \pi$

2. Прибавим ко всем частям неравенства 4:

$4 - \pi < 4 - 2\arctan 2x < 4 + \pi$

$4 - \pi < y < 4 + \pi$

Таким образом, область значений функции $y$ — это интервал $(4-\pi; 4+\pi)$.

Ответ: $(4-\pi; 4+\pi)$