Номер 242, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

242. Найдите значение выражения:

1) $ \arcsin(-1) + \arccos 1 + \operatorname{arctg} \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \operatorname{arcctg} (-\sqrt{3}); $

2) $ 3 \arccos 0 + 4 \arcsin 1 - 2 \arccos(-1) + 3 \arccos \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right). $

1) Найдем значение выражения $ \arcsin(-1) + \arccos 1 + \operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) $.

Для этого вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, используя определения и свойства обратных тригонометрических функций.

• $ \arcsin(-1) $ - это угол из промежутка $ \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $, синус которого равен -1. Следовательно, $ \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} $.
• $ \arccos 1 $ - это угол из промежутка $ [0, \pi] $, косинус которого равен 1. Следовательно, $ \arccos 1 = 0 $.
• $ \operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) $ - это угол из промежутка $ \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) $, тангенс которого равен $ -\frac{\sqrt{3}}{3} $. Так как $ \operatorname{arctg} $ - нечетная функция, $ \operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x) $. Тогда $ \operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\operatorname{arctg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\pi}{6} $.
• $ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) $ - это угол из промежутка $ (0, \pi) $, котангенс которого равен $ -\sqrt{3} $. Используем свойство $ \operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x) $. Тогда $ \operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Теперь сложим полученные значения:

$ -\frac{\pi}{2} + 0 + \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{6} = -\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3} $

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$ -\frac{3\pi}{6} + \frac{4\pi}{6} = \frac{\pi}{6} $

Ответ: $ \frac{\pi}{6} $

2) Найдем значение выражения $ 3\arccos 0 + 4\arcsin 1 - 2\arccos(-1) + 3\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $.

Сначала вычислим значения обратных тригонометрических функций.

• $ \arccos 0 = \frac{\pi}{2} $, так как $ \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 $ и $ \frac{\pi}{2} \in [0, \pi] $.
• $ \arcsin 1 = \frac{\pi}{2} $, так как $ \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 $ и $ \frac{\pi}{2} \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] $.
• $ \arccos(-1) = \pi $, так как $ \cos(\pi) = -1 $ и $ \pi \in [0, \pi] $.
• $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) $. Используем свойство $ \arccos(-x) = \pi - \arccos(x) $. Тогда $ \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ 3 \cdot \frac{\pi}{2} + 4 \cdot \frac{\pi}{2} - 2 \cdot \pi + 3 \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} - 2\pi + \frac{9\pi}{4} $

Теперь выполним арифметические действия:

$ \frac{7\pi}{2} - 2\pi + \frac{9\pi}{4} = \frac{7\pi - 4\pi}{2} + \frac{9\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} + \frac{9\pi}{4} $

Приведем дроби к общему знаменателю 4:

$ \frac{3\pi \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9\pi}{4} = \frac{6\pi}{4} + \frac{9\pi}{4} = \frac{15\pi}{4} $

Ответ: $ \frac{15\pi}{4} $