Номер 240, страница 145 - гдз по алгебре 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

240. Сколько решений уравнения $ctg 3x = -1$ принадлежат промежутку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$?

Чтобы найти количество решений уравнения $ \text{ctg}(3x) = -1 $ на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $, сначала найдем общее решение этого уравнения.

Общее решение уравнения $ \text{ctg}(y) = a $ дается формулой $ y = \text{arcctg}(a) + \pi k $, где $ k $ - любое целое число ($ k \in \mathbb{Z} $).

В нашем случае $ y = 3x $ и $ a = -1 $. Арккотангенс от -1 равен $ \text{arcctg}(-1) = \frac{3\pi}{4} $.

Подставляя эти значения, получаем:

$ 3x = \frac{3\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $

Теперь выразим $ x $, разделив обе части уравнения на 3:

$ x = \frac{1}{3} \left( \frac{3\pi}{4} + \pi k \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3} $

Это общее решение уравнения. Далее, нам нужно определить, какие из этих решений попадают в заданный промежуток $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $. Для этого решим двойное неравенство:

$ -\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{3} \le \frac{\pi}{2} $

Разделим все части неравенства на $ \pi $ для упрощения:

$ -\frac{1}{2} \le \frac{1}{4} + \frac{k}{3} \le \frac{1}{2} $

Вычтем $ \frac{1}{4} $ из всех частей неравенства:

$ -\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \le \frac{k}{3} \le \frac{1}{2} - \frac{1}{4} $

$ -\frac{2}{4} - \frac{1}{4} \le \frac{k}{3} \le \frac{2}{4} - \frac{1}{4} $

$ -\frac{3}{4} \le \frac{k}{3} \le \frac{1}{4} $

Теперь умножим все части неравенства на 3, чтобы найти диапазон для целых значений $ k $:

$ 3 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) \le k \le 3 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) $

$ -\frac{9}{4} \le k \le \frac{3}{4} $

Переведем дроби в десятичный вид для наглядности:

$ -2.25 \le k \le 0.75 $

Поскольку $ k $ - это целое число, то в данный промежуток попадают следующие значения $ k $: -2, -1, 0.

Каждому из этих значений $ k $ соответствует одно решение уравнения на заданном промежутке:

• При $ k = -2 $: $ x = \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi - 8\pi}{12} = -\frac{5\pi}{12} $
• При $ k = -1 $: $ x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - 4\pi}{12} = -\frac{\pi}{12} $
• При $ k = 0 $: $ x = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4} $

Мы получили три различных значения $ k $, следовательно, на промежутке $ \left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right] $ существует три решения уравнения.

Ответ: 3